Logarithmen/ eFunktion ausrechnen: log_3 2^1024 / log_3 2.

Question

Ich habe eine Frage zu dem Aufgaben:
log unten 3 oben 2 hoch 1024 / log unten 3 oben 2.
İch gebe es ein, aber bekomme error raus.
Das zweite :
log unten 2 ( summenzeichem von k=o bis unendlich 1/2^k )

Auvh hier bekomme ich error raus, obwphl ich für unendlich eine große zahl einsetze

Answer 1

Gemeint sind wohl die Ausdrücke

log₃ ( 2 ¹⁰²⁴ ) / log₃ ( 2 )

bzw.

log₂ ( ∑^∞_k=0 1 / 2 ^k )

Vermutlich verwendet dein Rechner einen ungünstigen Algorithmus, welcher nicht in der Lage ist, die Entstehung sehr großer Zahlen als Zwischenergebnisse möglichst zu vehindern und dann Probleme bei deren interner Darstellung bekommt.

Bedenke: 2 ¹⁰²⁴ ≈ 1,798 * 10 ³⁰⁸ ist eine Zahl mit 308 Dezimalstellen vor dem Dezimalkomma.

Hier bist dann also du als Bediener gefordert, den zu berechnenden Ausdruck geeignet umzuformen, so dass dein Rechner damit umgehen kann.

Bei den vorliegenden Aufgaben jedoch ist der Einsatz eines Rechners gar nicht erforderlich, sofern man die Logarithmengesetze (erster Ausdruck) bzw. geometrische Reihen und deren Grenzwertberechnung (zweiter Ausdruck) beherrscht.

Es ist nämlich (erster Ausdruck):

log₃ ( 2 ¹⁰²⁴ ) / log₃ ( 2 )

= 1024 * log₃ ( 2 ) / log₃ ( 2 ) 

= 1024

bzw. (zweiter Ausdruck):

∑^∞_k=0 1 / 2 ^k

= ∑^∞_k=0  (1 / 2 ) ^k

Das ist eine unendliche geometrische Reihe die als solche folgenden Wert hat:

= 1 / (1 - ( 1 / 2 ) )

= 1 / ( 1 / 2 )

= 2

und daher:

log₂ ( ∑^∞_k=0 1 / 2 ^k )

= log₂ ( 2 )

= 1