Wie löse ich diese Kubische Gleichung? x^3+2x-x^{-2} = 5

Question

Hat die Gleichung x³+2x-x^-2 = 5 eine Lösung?

Hier ist ja -2 ein negativer Exponent!

Answer 1

x³ + 2x - x^-2 = 5 | *x^2

x^5 + 2x^3 - 1 = 5x^2 | -5x^2

x^5 + 2x^3 - 5x^2 - 1 = 0

Gleichungen 5. Grades lassen sich nicht so ohne weiteres Lösen. 

Wir zeichnen mal den Graphen

Wir vermuten hier die einzige Nullstelle bei etwa 1,4. Nun rechnen wir diese mit dem Newtonverfahren genauer aus.

f(x) = x^5 + 2x^3 - 5x^2 - 1
f '(x) = 5x^4 + 6x^2 - 10x

x_n+1 = x_n - (x_n^5 + 2x_n^3 - 5x_n^2 - 1) / (5x_n^4 + 6x_n^2 - 10x_n)

x₁ ~ 1,4
x₂ ~ 1,396
x₃ ~ 1,396

Das wäre die einzige gefundene Nullstelle.

Man könnte jetzt noch die zweite Ableitung nullsetzen und zeigen das es nur einen Wendepunkt gibt und es somit die einzige Nullstelle sein muss, da der Graph ansonsten seine Krümmung nicht mehr ändert.

Answer 2

Hat die Gleichung x³+2x-x^-2 = 5 eine Lösung?

Antwort: ja

 

Wenn du nur entscheiden musst, ob die Gleichung eine Lösung hat, genügt es, wenn du zeigen kannst, dass die Funktion links vom Gleichheitszeichen alle reellen Zahlen zwischen zB. 4 und 6 annehmen kann.

Für f(x) = x³+2x-x^-2          gilt: limes  (gegen ± unendlich ) f(x) = ±unendlich (da für betragsmässig grosse x der Anteil mit dem höchsten positiven Exponenten überwiegt.

Nun hat aber f(x) eine einzige Definitionslücke bei x = 0. Es könnte also sein, dass die Funktion etwas überspringt (zB. auch den Wert 5). Neben der Definitionslücke springt die Funktion nicht.

Dass 5 nicht übersprungen wird, kann man daran sehen, dass f(1) = 1 + 2 -1 = 2 kleiner als 5 ist. Zudem wissen wir von oben, dass die Funktion für x -> unendlich gegen + unendlich geht. Somit kommt 5 als Funktionswert tatsächlich vor.

Also: Die Gleichung hat eine Lösung.