Maximum des Maximums / Supremums einer endlichen Menge von stetigen Funktionen

Question

ich bräuchte Hilfe bei diesen beiden Aufgaben.... 

! 

 

1) 

Es seien f_1,....,f_{n :} ℝ→ℝ stetige Funktionen.

Zeigen Sie, dass dann die Funktion max {f₁,....,f_n}: ℝ→ℝ mit  max { f₁.....f_n}(x):= max { f₁(x).......f_n (x)}, x∈ℝ, stetig ist.

 

2)

Ist die Funktion 

x ↦ ( sup f_k)(x):= {sup f_k(x) I k∈ℕ} stetig auf ℝ wenn, f_k: ℝ↦[c,d] für k∈ℕ stetige sind ? 

Answer 1

Die Funktion max {f1,....,fn}: ℝ→ℝ mit  max { f1.....fn}(x):= max { f1(x).......fn (x)}, x∈ℝ, ist stetig. Es reicht, das für zwei Funktionen f1 und f2 zu zeigen, für beliebiges n ergibt sich die Folgerung direkt durch vollt. Induktion.


x ↦ ( sup fk)(x):= {sup fk(x) I k∈ℕ} stetig auf ℝ wenn, fk: ℝ↦[c,d] für k∈ℕ ist dagegen im allgemeinen nicht stetig

Es reicht die Angabe eines Gegenbeispiels:

fn(x) = 1-e^{-n*x} mit Definitionsbereich [0;unendlich[ ist für jedes n aus IN stetig. fn(0) = 0 aber fn(x) hat für x ungleich 0 den Grenzwert 1. Also ist die "Suprenumsfunktion" an der Stelle x = 0 nicht stetig.