Herleitung einer Stammfunktion

Question

\( \frac{1}{2} \int \ln (u) d u=\frac{1}{2}[u \cdot \ln (u)-u+C] \)

Ich kenne die Stammfunktion und die Ableitung von f(x) = ln(x).

Answer 1

Hallo piknockyou,

Die ersten 3 Zeilen sind die allgemeine Herleitung
für die partielle Integration.
Ausgegangen wird von der Produktregel.
Dann werden beide Seiten integriert.
Und es wird umgestellt.

Angewendet wird die Gleichung zur Bildung der Stammfunktion
von ln ( x ). Das 1/2 wurde der Einfachheit halber weggelassen.

Man kann die partielle Integration verwenden für z.B. Produkte.
Etwas trickreicher ist es ln ( x ) umzuwandeln in 1 * ln ( x ) und dies
Produkt dann aufzuleiten.

Das Ganze ist nicht ganz so einfach.

Aber am meisten lernt man durch die Bewältigung von Problemen
und Schwierigkeiten.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

Z.B. über partielle Integration

∫ 1 * ln(x) dx = x * ln(x) - ∫ x * 1/x dx = x * ln(x) - ∫ 1 dx = x * ln(x) - x = x * (ln(x) - 1)

Integrationskonstante hab ich mal weggelassen.