Wenn Du \(dx=(b-a)/n\) mit einem (noch so grossen) \(n\in\mathbb{N}\) setzt, ist \(dx\) ein endliche Groesse. Wenn Du zur Grenze uebergehst, \(dx=\lim_{n\to\infty}(b-a)/n\), kommt \(dx=0\) raus. Beides kann nicht gemeint sein, denn \(dx\) soll eine infinitesimale Groesse sein. Das heisst, \(dx\) soll groesser null, aber kleiner als jede positive reelle Zahl sein. Daraus folgt, dass \(dx\) keine reelle Zahl sein kann, denn es gibt keine reelle Zahl mit der geforderten Eigenschaft. Wenn man also sauber mit infinitesimalen Groessen rechnen will, muss man erst einen groesseren Zahlenbereich als \(\mathbb{R}\) finden, in dem es infinitesimale Groessen gibt. Das wurde erst um 1960 ueberhaupt geleistet.
Fuer ein intuitives Verstaendnis der Sache ist das auch nicht noetig. Ein kleines Beispiel. Sei \(f\) auf \([a,b]\) differenzierbar mit \(dy=f'(x)\,dx\). Dann ergibt sich sofort der Hauptsatz: $$\int_a^bf'(x)\,dx=\int_{x=a}^{x=b}dy=f(b)-f(a).$$ Denn im zweiten Integral summiere ich einfach alle Inkremente von \(f\) zwischen \(x=a\) und \(x=b\). Das ergibt (wie bei einer Teleskopsumme) den Gesamtzuwachs von \(f\) zwischen \(x=a\) und \(x=b\), also \(f(b)-f(a)\). Ganz aehnlich kann man unzaehlige andere Formeln mit Integralen zu geometrischen oder physikalischen Sachverhalten aus dem Aermel schuetteln, ohne besonders helle zu sein. Das hat der Leibnizschen Notation zum Durchbruch verholfen und sie bis heute erhalten.
In der Schule lernt man heute sowieso nichts mehr und an der Uni sagen sie auch nur noch: \(dx\) und so'n Zeug hat für sich genommen keine Bedeutung. Im Integral gibt es nur an, nach welcher Variablen man integrieren soll. Guck bei Physikern oder so. Die koennen das noch.
