exponentialfunktion wachstumsgesetz

Question

ich stehe gerade vor einem ziemlichen Rätsel. Wie löse ich diese Aufgabe?

 

Eine Hefekultur wächst angenähert nach dem Gesetz f(t) = a*e^k*t. Aufgrund von Beobachtungen haben sich nach verschiedenen Zeitabständen die folgenden Werte ergeben:

t-Stunden     0        1            2           3          4
f(t) in mg      25   41,25   68,06   112,3   185,3

a) Stellen Sie unter der Annahme eines ungestörten Wachstums das Wachstumsgesetz auf. Geben Sie die Funktionsgleichung als e-Funktion an und bestimmen Sie die tägliche Zunahme in Prozent

b) Wie hoch war der Bestand nach einer halben Stunde? Welcher Bestand wird nach 8 Stunden erwartet?

c) Nach welcher Zeit ist der Bestand auf 1000 mg angewachsen?

Answer 1

(185.3/25)^{1/(4 - 0)} = 1.649999652

f(t) = 25 * 1.649999652^t

Jetzt in eine e-Funktion wandeln

ln(1.649999652) = 0.5007750770

f(t) = 25 * e^{0.5008 * t}


Schaffst du von da an den Rest alleine?

Comments

Okay vielen dank aber da hätte ich nochmal ein paar fragen :)

(185.3/25)^{1/(4 - 0)} = 1.649999652

sind die 1,649999652 Prozent?

b) habe ich soweit alleine hinbekommen nur bei c) hängt es jetzt wieder

ich weiß, dass ich die formel in 1000= 25 * e^{0.5008 *x} umstellen muss. Nur wie löse ich jetzt nach x auf?

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1.649999652 ist der Stündliche Wachstumsfaktor.

Stündlich wächst die Hefekultur von 100% auf ca. 165% also um 65%.

 

25 * e^{0.5008 * t} = 1000

Auflösen nach t ergibt:

t = LN(1000 / 25) / 0.5008

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Okay, dann habe ich erstmal alles und rechne es nochmal durch, um es genauer zu verstehen.

Vielen Dank, wenn sich noch Fragen ergeben sollten, schreibe ich hier nochmal :-)

LG

Answer 2

Eine Hefekultur wächst angenähert nach dem Gesetz f(t) = a*e^k*t.
Aufgrund von Beobachtungen haben sich nach verschiedenen
Zeitabständen die folgenden Werte ergeben:

t-Stunden     0        1            2           3          4
f(t) in mg      25   41,25   68,06   112,3   185,3

a) Stellen Sie unter der Annahme eines ungestörten Wachstums das Wachstumsgesetz auf. Geben Sie die Funktionsgleichung als e-Funktion an ...

f ( t ) = a * e^{k*t}
f ( 0 ) = a * e^{k*0} = a * 1 = 25
a = 25

f ( 4 ) = 25 * e^{k*4} = 185.3
e^{k*4} = 185.3 / 25 = 7.412  | ln ( )
k * 4 = ln ( 7.412 ) = 2.00031
k = 0.5008

f ( t ) = 25 * e^{ 0.5008*t}

und bestimmen Sie die tägliche Zunahme in Prozent

e^{0.5008*t} = z^{t}  | ln ( )
0.5008 * t = t * ln ( z )
ln ( z ) = 0.5008
z = 1.65
entspricht 1 + 0.65
65 %

b) Wie hoch war der Bestand nach einer halben Stunde?

f ( 0.5 ) = 25 * e^{0.5008*0.5}
f ( 0.5 ) = 32.113 mg

Welcher Bestand wird nach 8 Stunden erwartet?

f ( 8 ) = 25 * e^{0.5008*8}
f ( 8 ) = 1373.717 mg

c) Nach welcher Zeit ist der Bestand auf 1000 mg angewachsen?

f ( x ) = 25 * e^{0.5008*x} = 1000  | ln ( )
ln ( 25 * e^{0.5008*x} ) = ln (1000 )
ln ( 25 ) + ln ( e^{0.5008*x} )  = ln (1000 )
ln  ( e^{0.5008*x})  = ln (1000 ) - ln ( 25 ) = ln ( 1000 / 25 )
0.5008 * x = ln ( 40 )
x = 7.366

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mfg Georg