Wahrscheinlichkeit: Aktionspotenziale eines Axons (Poisson-Verteilung)

Question

Biomathematische Aufgabe mit Poisson-Verteilung:

An einem Axon werden Aktionspotenziale mit einer Rate von \( \lambda=0,5 / \mathrm{sec} \) gemessen. Das Verhalten des Axons kann mit einer Poisson-Verteilung beschrieben werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Sekunde ... (Tipp: \( e^{-0,5} \approx 0,6 \) )

(a) ... kein Aktionspotenzial gemessen wird?

(b) ... genau ein Aktionspotenzial gemessen wird?

(c) ... mindestens drei Aktionspotenziale gemessen werden?

Meine Lösungen:

\( P(X=k) \equiv p_{k} \equiv P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda} \)
\( P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-P_{0,5}(0)=1-\frac{0,5^{0}}{0 !} e^{-0,5}=1-e^{-0,5} \approx 0,6 \)
\( P(X \geq 1)=1-P(X=1)=1-P_{0,5}(1)=1-\frac{0,5^{l}}{1 !} e^{-0,5}=1-0,5 e^{-0,5} \approx 0,30 \)
\( P(X \geq 1)=1-P(X=2)=1-P_{0,5}(2)=1-\frac{0,5^{2}}{2 !} e^{-0,5}=1-0,5 e^{-0,5} \approx 0,53 \)
\( (X \geq 1)=1-P(X=3)=1-P_{0,5}(3)=1-\frac{0,5^{3}}{3 !} e^{-0,5}=1-0,02083 e^{-0,5} \approx 0,59 \)

Comments

Bei dir steht zu Anfang immer P(X >= 1). Das ist mit Sicherheit verkehrt.

Achso. Du darfst mit 0.6 rechnen. ich habe mit
e^-0.5 = 0.6065306597 gerechnet. Dadurch meine Abweichungen.

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Du hast Recht P(X≥1) ist falsch. Wenn es ein radioaktiver Zerfall gewesen wäre, dann wäre es bestimmt richtig gewesen. Es ist Paradox, dass die ersten beiden Berechnungen korrekt waren, aber ab P(X=2) erkennt man, dass ich eine falsche Formel verwendet habe... Wie immer gibt es einen Stern und einen Punkt für dich!

Answer 1

Also was da vor der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten steht ist bei dir immer etwas abenteuerlich.

P(X = 0) = 0.5^0/0!·e^{-0.5} = 0.6065

P(X = 1) = 0.5^1/1!·e^{-0.5} = 0.3033

P(X = 2) = 0.5^2/2!·e^{-0.5} = 0.0758

P(X >= 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) = 1 - 0.6065 - 0.3033 - 0.0758 = 0.0144