Poisson-Verteilung und bedingte Wahrscheinlichkeit

Question

bei folgender Aufgabe bräuchte ich Hilfe:

An einem Wochentag sei die Anzahl X der Kunden, die innerhalb 10 Minuten eine Bestellung aufgeben, Poisson-verteilt mit Parameter λ = 4:

$$P(X=k) = e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}$$

Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der nächsten 10 Min. mehr als 4 Kunden kommen, wenn bekannt ist, das definitiv mehr als 2 kommen.

Jetzt war meine Idee:

P(A): P(X>4)

P(B): P(X>2)

Nun ist doch P(X>2) = 1, oder?

Dann müsste P(A|B) = P(A) sein und

$$P(X>4) = 1- \sum \limits_{n=0}^{4}e^{-4}\frac{4^{k}}{k!}$$

Stimmt der Ansatz so?

Comments

Warum soll P(X>2)=1 sein?

Answer 1

Schau mal ob das so stimmen kann oder ob ich mich verrechnet habe.

P(X > 4) / P(X > 2) = 0.3712 / 0.7619 = 0.4872

Answer 2

Aloha :)

$$P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-\frac{1}{e^4}\left(\frac{4^0}{0!}+\frac{4^1}{1!}+\frac{4^2}{2!}\right)=1-\frac{13}{e^{4}}$$$$P(X\ge5)=1-P(X\le4)=1-\frac{13}{e^4}-\frac{1}{e^4}\left(\frac{4^3}{3!}+\frac{4^4}{4!}\right)=1-\frac{103}{3e^4}$$

$$P(X\ge5|X\ge3)=\frac{P(X\ge5\;\land\;X\ge3)}{P(X\ge3)}=\frac{P(X\ge5)}{P(X\ge3)}$$$$\phantom{P(X\ge5|X\ge3)}=\frac{1-\frac{103}{3e^4}}{1-\frac{13}{e^4}}=\frac{3e^4-103}{3e^4-39}=0,48715668\approx48,72\%$$