Zeigen Sie Summe px(i) = 1 (Poisson - Verteilung)

Question

Aufgabe \( 1(4 \text { Punkte }): \) Es sei \( X \sim \mathcal{P}(\lambda), \) d.h. \( X \) besitzt eine Poisson-Verteilung mit Parameter \( \lambda>0 \)
a) Zeigen Sie
$$ \sum \limits_{i=0}^{\infty} p_{X}(i)=1 $$
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \( P(|X-2|<2 \text { ) für } \lambda=1 \text { . ( } 2 \) P.)

Wie löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)$$P_\lambda(k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$$$\sum\limits_{k=0}^\infty P_\lambda(k)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1$$Die verbliebene Summe ist die Potenzreihe der \(e^x\)-Funktion mit \(x=\lambda\).

$$P_1(|X-2|<2)=P_1(X=1,2,3)=\sum\limits_{k=1}^3 \frac{1^k}{k!}e^{-1}=\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)$$$$\phantom{P_1(|X-2|<2)}=\frac{5}{3e}\approx61,31\%$$Beachte, dass wegen des Kleiner-Zeichens die Terme für \(k=0\) und \(k=4\) nicht mit summiert werden dürfen.