Sei K ein Körper und seien V1, V2, W1, W2 Vektorräume über K

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen und mir einen Lösungsweg aufzeigen?!...

Sei \( K \) ein Körper und seien \( V_{1}, V_{2}, W_{1}, W_{2} \) Vektorräume über \( K . \) Es gelte \( V_{1} \cong V_{2} \) und \( W_{1} \cong W_{2} \) Zeigen Sie, dass auch Hom \( \left(V_{1}, W_{1}\right) \cong \operatorname{Hom}\left(V_{2}, W_{2}\right) \) gilt. 

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/727571/zeigen-sie-dass-auch-hom-v1-w1-hom-v2-w2-gilt

Comments

Was müsste ich dann noch zeigen?

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, dass H wirklich ein Isomorphismus ist.

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Könnten Sie mir einen Ansatz dazu geben?

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Mit den Vorbemerkungen über f und g wie angegeben, musst

du z.B. zeigen:

Seien h und k aus Hom(V1,W1) , dann

gilt H( h+k ) = H(h) + H(k)  (Additivität)

Da die Gleichheit zweier Abbildungen ( beide von V2 nach W2)

zu zeigen ist, muss man für alle v∈ V2 zeigen, dass

H( h+k )(v)  = (H(h) + H(k))(v) gilt . Sei also v ∈ V2 :

H( h+k )(v)  (Def. von H )

= (go(h+k)of^(-1)) ( v)

= g( (h+k) ( f^(-1)( v) )   Def. von +

= g ( h ( f^(-1)( v) ) + k ( f^(-1)( v) ) )  Da g ein Hom.

= g ( h ( f^(-1)( v) )) + g( k ( f^(-1)( v) ) ) Def. von H

= H(h)(v) + H(k)(v)   Def. von +

= ( H(h) + H(k) ) (v) .

So ähnlich Homogenität beweisen und

dann noch Bijektivität.