Zeigen Sie: Es gibt genau eine lineare Abbildung Φ : R2 → R3 mit f(v1) = w1 und f(v2) = w2.

Question

Aufgabe:

Es sind Vektoren der Länge 2 und 3 gegeben.
Zeigen Sie: Es gibt genau eine lineare Abbildung Φ : R2 → R3 mit f(v1) = w1 und f(v2) = w2.

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt die passende Matrix berechnet, sodass f(v1) = w1 und f(v2) = w2 stimmen. Nun bin ich mir aber nicht ganz sicher ob ich die Funktion f(x) = M*x (M für Matrix) aufstellen sollte oder die Aufgabe falsch verstanden habe.

Falls das mit der Matrix richtig ist, wie soll ich zeigen, dass es die einzige Lösung ist?

Comments

In welcher Beziehung soll die Abbildung f zur Abbildung Φ stehen?

Was sind v1, v2, w1 und w2?

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Φ und f sollen das selbe sein.
v1 = (2, 3), v2 = (-1, 1)
w1 = (1, 1, 3), w2 = (0, 2, 1)

Answer 1

\((v_1,v_2)\) ist eine Basis von \(\mathbb{R}^2\). Für jedes \(v\in \mathbb{R}^2\) existieren deshalb eindeutige \(a_v,b_v\in \mathbb{R}\)  mit \(v = a_vv_1 + b_vv_2\).

Sei \(\phi:\,\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, v\mapsto a_vw_1+b_vw_2\). Dann ist \(\phi\) wohldefiniert und die einzige lineare Abbildung mit \(\phi(v_1)=w_1\) und \(\phi(v_2)=w_2\).