Zeigen Sie, dass v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 genau dann als reiner Tensor r ⊗ s geschrieben werden kann, wenn v1 und v2 linear …

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume, v1, v2 ∈ V , w1, w2 ∈ W . Zeigen Sie, dass v1 ⊗ w1 + v2 ⊗ w2 genau dann als reiner Tensor r ⊗ s geschrieben werden kann, wenn v1 und v2 linear abhängig sind, oder w1 und w2 linear abhängig sind.

Answer 1

Ich verwende den Satz

Ist \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) eine Basis von \(V\) und \(\{w_1,\cdots,w_m\}\) eine Basis von \(W\),

dann ist \(\{v_i\otimes w_j: \; i=1,\cdots,n,\; j=1,\cdots,m\}\) eine Basis von \(V\otimes W\).

Seien \(v_1,v_2\) linear unabhängig, sowie \(w_1,w_2\) linear unabhängig, dann können

wir zu Basen \(v_1,\cdots,v_n\) von \(V\) und \(w_1,\cdots w_m\) von \(W\) ergänzen,

d.h. \(v_1\otimes w_1\) und \(v_2\times w_2\) sind linear unabhängig.

Andererseits ist \(r\otimes s=\sum_{i,j}c_{ij}v_i\otimes w_j\) mit eindeutigen

Skalaren \(c_{ij}\). Damit sollte man etwas anfangen können ...