Basis. Vektorraum mit der Basis B = {v1, v2, v3} und Vektorraum mit Basis C = {w1, w2}. Aufgaben

Question

Sei V ein Vektorraum mit der Basis B = {v1, v2, v3} und W ein Vektorraum mit Basis C = {w1, w2}. Bezüglich dieser Basen sei die lineare Abbildung f: V →W durch die darstellende Matrix

$$ Mf = \begin{pmatrix}  1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & -1 \end{pmatrix} $$

gegeben.

i) Geben Sie die Koordinaten der Vektoren f(v2) und f(2v1 + v3) in der Basis C an.

Bei dieser ersten Aufgabe hänge ich bereits, da ich überhaupt nicht weiß wie ich hier vorgehen soll. Da bräuchte ich einen Lösungsweg

Außerdem wäre es auch sehr freundlich, wenn jemand die weiteren Aufgaben dazu lösen oder mir eine Hilfestellung geben könnte:

ii) Zeigen Sie, dass durch C' = {w'1, w'2} mit w'1 = w1 + w2 und w'2 = 2w2 ebenfalls eine Basis von W gegeben ist.

iii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B und C'

Answer 1

i) Geben Sie die Koordinaten der Vektoren f(v2) und f(2v1 + v3) in der Basis C an.

In der k-ten Spalte der Matrix stehen immer die Koordinaten des Bildes des

k-ten Basisvektors.

f(v2) Die Koordinaten stehen in der 2. Spalte der Matrix, also f(v2)= 2w1 + 3w2

oder kurz Koordinaten ( 2 ; 3 )

f(2v1 + v3) = 2f(v1) +f( v3) = ( 2 ; 6 ) + (-1 ; -1 ) =  ( 1 ; 5 )

Außerdem wäre es auch sehr freundlich, wenn jemand die weiteren Aufgaben dazu lösen oder mir eine Hilfestellung geben könnte:

ii) Zeigen Sie, dass durch C' = {w'1, w'2} mit w'1 = w1 + w2 und w'2 = 2w2 ebenfalls eine Basis von W gegeben ist. 

Musst nur zeigen, dass die beiden neuen auch lin. unabh. sind; denn die Anzahl 2 stimmt ja.

lin. unabh:   aus a*w'1 + b*w'2 = 0-Vektor muss also folgen a=b=0

setze w'1 und w'2 ein und du siehst: Es folgt aus der lin. Unabh. von w1 und w2.

iii) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B und C'
Dazu musst du die Bilder der v_i durch die neuen Basisvektoren darstellen:
Das kannst du auf die bekannten Ergebnisse zurückführen:
Beim ersten etwa  f(v1)  = 2w1 + 3w2  #
und jetzt w1 und w2 durch die neuen darstellen:
w1 = w'1 - w2 und w2 = 0,5w'2 also
     = w'1 -  0,5w'2
einsetzen bei # gibt
  f(v1)  = 2w1 + 3w2 = 2*( w'1 -  0,5w'2) + 3*0,5w'2
                                  = 2w'1 - w'2 + 1,5w'2
                                  = 2w'1  + 0,5w'2
Also 1. Spalte der Matrix   bekannt:
2        ?       ?
0,5     ?       ?
und die ? bekommst du, wenn du das Entsprechende
mit v2 und v3 machst.