Poisson-Verteilung: Welche Zahlen treten mit höchster Wahrscheinlichkeit auf?

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Sei } X \text { eine diskrete Zufallsvariable mit Wertebereich } W_{X}=\mathbb{N}_{0}, \text { sodass } f_{X}(x)=\frac{2}{x} \cdot f_{X}(x-1)} \\ {\text { für } x \in \mathbb{N} \text { gilt. }}\end{array}$$

$$\text { (b) Welche Zahlen } x \in \mathbb{N}_{0} \text { treten mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auf? }$$

Problem/Ansatz:

In Aufgabe a) sollte die Art der Verteilung bestimmt werden und die entsprechenden Parameter angegeben werden. Dies ist ja offensichtlicherweise eine Poisson Verteilung mit lambda = 2.

Bei der b) habe ich einfach den Erwartungswert von X bestimmt, was ja in diesem Falle lambda bzw. 2 ist.

Die Musterlösung geht hier aber anders vor und erhält als Ergebnis 1 und 2. Leider verstehe ich nicht wirklich das Vorgehen in der ML. Ich würde sie auch hier posten, aber bin mir unsicher ob ich das darf, der Lehrstuhl hat die extra durch ein Passwort geschützt.

Daher die Frage, wie würdet ihr die b) lösen?

Answer 1

f(x) = 2^x/x!·e^(-2)

Sicher bist du in der Lage die ersten Wahrscheinlichkeiten damit zu bestimmen oder?

f(0) = 2^0/0!·e^(-2) = e^(-2)

f(1) = 2^1/1!·e^(-2) = 2·e^(-2)

f(2) = 2^2/2!·e^(-2) = 4/2·e^(-2)

f(3) = 2^3/3!·e^(-2) = 8/6·e^(-2)

Du siehst das die Wahrscheinlichkeiten für x = 1 und x = 2 gleich sind. Die Wahrscheinlichkeit am Erwartungswert muss also nicht die einzig höchste Wahrscheinlichkeit sein.

Wenn du genau die Aufgabenstellung von b) ließt dann steht dort auch Zahlen statt Zahl. Das könnte einem beim genauen Lesen schon sagen, dass es vermutlich eben nicht nur eine Lösung gibt sondern mehrere.

Comments

Eine ähnliche Fragestellung:

Eine Zufallsgröße X sei binomialverteilt mit n = 10 und p = 1/10.

Welche Zahlen x treten mit der größten Wahrscheinlichkeit auf?

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Super, vielen Dank für die einfache Erklärung. Hätte ich auch selber drauf kommen können, dass man einfach die Dichtefunktion aufstellen kann und dann anhand dieser schaut ;)