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Aufgabe:

Bei Experimenten stellt sich häufig die Frage, in welchem Bereich der wahre (nicht bekannte) Mittelwert \( \mu \) sich befindet. Um diese Frage zu beantworten, berechnet man ein Konfidenzintervall, in dem sich mit der Wahrscheinlichkeit \( 1-\alpha \) der wahre Wert befindet.

a) Bei einem Experiment, das 9 mal durchgeführt wurde, mit einem Messgerät, dessen Standardabweichung mit \( \sigma=1 \) bekannt ist, wurde als Mittelwert der Messgröße \( \bar{x}=3 \) ermittelt. Wie groß ist die Standardabweichung des Mittelwertes?

b) Wo liegt das \( 95 \% \) -Konfidenzintervall?


Dabei kann oft von einer Normalverteilung der Daten ausgegangen werden, weil kleine Messfehler wahrscheinlicher sind als große und positive wie negative Abweichungen auftreten.

Gegeben:

n=9
σ=1
1-a
x=3

a)
\( \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
\( \sigma_{\bar{x}}=\frac{1}{\sqrt{9}} · (1-3)^{2}=\frac{4}{3} \approx 1, \overline{33} \)

b)
\( P(\mu \in[a, b])=1-\alpha \)
\( \bar{X}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right) \)
\( 1-\alpha=P\left(-z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^{2} / n}} \leq+z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}\right) \)
\( =P\left(\bar{X}-z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \)

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1 Antwort

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Du hast unter a) 2 Formeln Hinter der zweiten ist noch ein (1 - 3)^2. Warum ? Wo kommt das her.
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Ich habe den Fehler gefunden, ich habe wieder diskrete Wahrscheinlichkeit "reingebastelt". Dann kommt 1/3≈0,33 raus.
Ja. Ich habe auch 1/3.

Und dann kannst du das auch bei b) In die Formel einsetzen. Dafür musst du das z(1 - a/2) dann nur noch in der Tabelle für die Normalverteilung ablesen.

Was setze ich für X ein? Ist X →1/3=0,333?

σ=1
n=9

Wie lese ich die Tabelle ab?
Tab

Du brauchst das 95% Intervall. D.h. α = 5% bzw. α/2 = 2.5%

Du brauchst also
Φ(k) = 1 - 0.025 = 0.975
k = 1.959963962

Mithilfe von Wikipedia habe ich die Formel gefunden mit den bereits erarbeiteten Ergebnissen. Das 95 %-Konfidenzintervall berechnet sich dann als

\( \left[3-1,959963962 * \frac{\sqrt{1 / 3}}{9} ; 3+1,959963962 * \frac{\sqrt{1 / 3}}{9}\right] \)

Ist das richtig, oder ist das wieder von mir falsch aufgestellt?

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