Vollständige Induktion zu Binomialkoeffizienten (x+y über n)

Question

Ich versuche eine Aufgaben aus dem "Übungsbuch zur Analysis 1" von Otto Forster zu machen, jedoch verstehe ich weder den Lösungsweg noch den Ansatz der Lösung.

 

Die Aufgabe lautet:

Man beweise für alle reellen Zahlen x, y und alle natürlichen Zahlen n

(Ich schreibe z.B (n über k) für Binomial-Koeffizienten)  

(x+y über n)=∑(k=0 bis n)(x über n-k)*(y über k)

 

Im Lösungsweg wird gesagt das die Aufgabe dem Binomischen Lehrsatz ähnelt und deshalb wird dann die "Fallende Fakultät" eingeführt.

Nach einigen Umformungen wird aus der Aufgabe:

(x+y)^{(Fallende Fakultät von n)}=∑(k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k)}

 

Hier ist mein erstes Problem: Warum muss ich die Aufgabe in diese Form bringen bevor ich die Vollständige Induktion durchführen kann?Kann ich die Aufgabe in ihrer ursprünglichen Form nicht lösen?

 

Dann wird der Induktionsanfang durchgeführt, wobei beide Seiten 1 ergeben.

 

Beim Induktionsschritt liegt mein zweites Problem:

(x+y)^{(Fallende Fakultät von n+1)}=(x+y)^{(Fallende Fakultät von n)}(x+y-n)

Einsetzen der Induktionsvoraussetzung

=∑((k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k)})*((x-n+k)+(y-k))

=∑(k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n+1-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k)}+∑(k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k+1)}

 

Mein Problem hierbei liegt bei:

∑(k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k)}*(x-n+k)

=∑(k=0 bis n)(n über k)*x^{(Fallende Fakultät von n+1-k)}*y^{(Fallende Fakultät von k)}

 

Müsste man dafür nicht mit (x-(n-k)+1) multiplizieren statt mit (x-n+k)?

Comments

Hab gerade mein 2tes Problem doch lösen können(saß gestern eine Ewigkeit dran)

Ist eigentlich logisch und nicht besonders schwer.

Hatte nicht daran gedacht die Vorzeichen in der Klammer zu ändern.

Bleibt nur noch die Frage offen warum ich die Aufgabe so umformen musst und ob man sie nicht auch anders bzw. in der Anfangsform lösen kann.

Answer 1

"Bleibt nur noch die Frage offen warum ich die Aufgabe so umformen musst und ob man sie nicht auch anders bzw. in der Anfangsform lösen kann."

Das Problem ist hier wohl, dass x und y gemäss Fragestellung nicht unbedingt natürliche Zahlen sein müssen.

Ansonsten für x und y Element N kann man kombinatorisch argumentieren.

(x+y tief n) ist die Zahl aller n-elementigen Teilmengen einer Menge mit x+y Elementen

Diese Zahl kann man auch berechnen, indem man die gegebene Menge in 2 Mengen mit x resp. y Elementen unterteilt. Dann braucht es für jede Teilmenge 0,1,2,…n Elemente der ersten x Elemente zusammen mit n, n-1, n-2… 0 Elementen aus den y folgenden Elementen.

Diese Zahl berechnet man mit  (x tief 0)*(y tief n) + (x tief 1)*(y tief (n-1)) + … +(x tief n)*(y tief 0)*) = die behauptete Summe.

 

*) nur soweit wie die untere Zahl des Binomialkoeffizienten nicht grösser als die obere ist.

Comments

Ich glaube das verstehe ich, aber warum kann ich nicht anhand dieser Formel den Induktionsschritt durchführen?

Diese Formel wird im Lösungsweg zuerst so umgestellt dass sie der des Binomischen Lehrsatz ähnelt.

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Mir genügt halt der kombinatorische Beweis für natürliche Zahlen x,y,n. Wenn du unbedingt einen Induktionsbeweis führen musst, geht das nicht so einfach. Da hältst du dich mE besser an die Vorgabe, die ihr da habt.

Man hat ja hier 3 Variable x,y,n. Du kannst nicht einfach x und y fest annehmen und dann eine Induktion nach n durchführen. Unabhängig von n muss auch x+y, x und y ändern können.

Und eben, was ich gar nicht verstehe, sind die Vorgaben x und y reell. Also zB. x=pi und y = 3.8. Wie soll das denn gehen?