Gleichungssysteme mit Gauß-Verfahren lösen

Question

es geht um das Lösen dieser Matrix:

Der Schritt wo die erste Spalte auf 0 gebracht wird indem man jeweils die oberste Zeile mit -2, -2 und -3 multipliziert und das dann mit den anderen Zeilen verrechnet um so auf 0 zu gelangen ist mir klar. Nur würde ich jetzt nicht, wie es auf der rechten Seite gemacht wurde, mit -1/5 multiplizieren sondern einfach die zweite Zeile mit -2 multiplizieren und das dann mit der dritten Zeile addieren. Wenn ich die zweite Zeile mit -2 multipliziere erhalte ich

0 10 -6 2

Das addiere ich mit der dritten Zeile

0  10 -6 2

+

0 -10 6 -2

und erhalte

0 0 0 0 

Auf dasselbe für die vorletzte Zeile kommt das Buch ja auch. Nur erhalte ich dann im Endergebnis bei den Zahlen, bei denen keine 0 herauskommt, andere Werte, was ja bestimmt nicht richtig ist.

Mein Ergebnis sieht wie folgt aus:

1  3  -1  4

0 -5  3  -1

0  0  0   0

0  0  0   0

 

Wo habe ich denn den Fehler gemacht? 

Comments

Du hast keinen Fehler gemacht. Rechne noch zwei Schritte weiter, und Du bekommst auch das Ergebnis von oben.

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Du hast keinen Fehler gemacht.
Die haben im Beispiel nur den erweiterten Gauss gemacht um in der Matrix möglichst nur noch Diagonalelemente zu haben.

Answer 1

Ich finde es ungünstig mitten drin eine Zeile zu teilen, wenn man dadurch Brüche erhält. Ich rechne wie folgt:

[1, 3, -1, 4]
[2, 1, 1, 7]
[2, -4, 4, 6]
[3, 4, 0, 11]

II - 2*I ; III - 2*I ; IV - 3*I

[1, 3, -1, 4]
[0, -5, 3, -1]
[0, -10, 6, -2]
[0, -5, 3, -1]

III - 2*II ; IV - II

[1, 3, -1, 4]
[0, -5, 3, -1]
[0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]

Jetzt ist es schon in der Stufenform. Jetzt kannst du auch auf die Lösungsform bringen

5*I + 3*II

[5, 0, 4, 17]
[0, -5, 3, -1]
[0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]

Nun noch normieren indem man die erste Zeile durch 5 und die 2. durch -5 teilt

[1, 0, 4/5, 17/5]
[0, -1, 3/5, - 1/5]
[0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0]

Comments

Danke für die ausführliche Antwort. Für die Stufenform müssen die Ausdrücke unter der Hauptdiagonalen ja 0 sein. Wenn ich jetzt folgende Matrix habe:

$$(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 5 & 5 \end{matrix})$$

Dann habe ich doch gar keine Hauptdiagonale, welche Ausdrücke müssen dann bei dieser Matrix 0 entsprechen?

Ich habe erstmal die obere Zeile mit -3 multipliziert und das dann mit der unteren addiert. So komme ich auf

$$(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{matrix})$$

Muss jetzt die 2 in der zweiten Zeile auch noch 0 werden?

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Nein. Die 2 wäre ja schon ein Diagonalelement weil die Zeile und die Spalte in der die 2 steht gleich sind.

Dann muss nur noch alles oberhalb der Diagonalelemente auf Null gebracht werden. Also bei dir dann die 1 über der 2.

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Bilde ich die Diagonalelemente der gesamten Matrix oder nur die Diagonale der Koeffizienten? 3 und -4 sind ja in meinem Beispiel die Ergebnisse der zwei Gleichungen. Also bilde ich eine diagonale

von der 1 zur 2 und nicht von 1 zur -4? Muss ich nur in solch einem Fall die Elemente oberhalb der Diagonale auf Null bringen? Bei meinem allerersten Beispiel war das ja bspw. nicht notwendig. Hängt das damit zusammen das ich im ersten Fall eine 4x4 Matrix und hier eine 2x3 Matrix habe?
Um beim Beispiel zu bleiben:

1   1   3
0   2  -4

Da würde ich die untere Zeile mit - 1/2 multiplizieren und mit der oberen addieren. Ich erhalte so

0   -1  2 für die Multiplikation der unteren Zeile mit -1/2 und addiere jetzt die obere Zeile hinzu:

1   0   5

0   2  -4
habe ich als Endergebnis heraus.Das Buch gibt allerdings für die untere Zeile 0   1   -2 an. Die obere Zeile

1   0   5

stimmt mit dem Ergebnis des Buches überein.

Aber die untere Zeile habe ich ja als erstes ermittelt und erhielt so 0   2  -4  Wenn ich diese Zeile jetzt mit -1/2 multipliziere und zu der oberen addiere ändert sich doch nur meine obere Zeile und nicht auch die untere.

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Die Diagolanelemente sind die die die gleiche Zeilen und Spaltennuller haben.
Die -4 stände in der 2. Zeile aber in der dritten Spalte und ist damit kein Diagonalelement.

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[1, 1, 3]
[0, 2, -4]

Ich mache das z.B. meist so, dass ich nicht die 2. Zeile mit 1/2 multipliziere sondern die erste mal 2 nehme. Dann habe ich erst ganz am ende Brüche in der Matrix

[1, 1, 3]
[0, 2, -4]

2*I - II

[2, 0, 10]
[0, 2, -4]

Und jetzt normiere ich indem ich jede Zeile durch das enthaltene Diagonalelement teile.

[1, 0, 5]
[0, 1, -2]

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Eine Sache ist mir noch unklar: Wieso genau untersuche ich hier jetzt auch die Elemente über der Diagonallinie? Im ersten Beispiel haben mich die Elemente über der Diagonalen ja überhaupt nicht gekümmert. Das ist mir noch nicht ganz klar. Ansonsten super erklärt, vielen Dank

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Das muss man nicht machen. Die meisten lösen das im Anschluss rückwärts auf.

Aber es gibt auch die Variante das alles als Matrix zu machen. Ich mache das normal auch eher mit dem Rückwärtsauflösen. Ich habe das nur mal in Anlehnung an die erste Aufgabe gemacht wo das genau so gemacht worden ist.