Grenzwert lim_x->0((2-3x)/(e^x-1)) - (2/x) berechnen mithilfe der Potenzreihendarstellung

Question

 

ich soll den Grenzwert mithilfe der Potenzreihendarstellung von e^x bestimmen:

 

lim_x->0((2-3x)/(e^x-1)) - (2/x)

Answer 1

2 - 3x     2                        2 - 3x                                 2                  2x - 3x² - 2x - x² - x³/2 - x4/12 - .....

lim ( ------- - --- )     =   lim  ( ----------------------------  -  --- )  =  lim  --------------------------------------

         ex - 1    x                       x/1! + x²/2! + x³/3! + .....      x                   x²/1! + x³/2! + x4/3! + ........

Jetzt  im Zähler zusammenfassen und dann Zähler und Nenner mit  x²  kürzen :

             -4  - x/3  - x²/12  - ......

 =  lim ----------------------------          Grenzwert des Quotienten gleich Quotient der Grenzwerte:

               1!  + x/2! + x²/3!  +  ....

     lim ( -4 - x/3 - x²/12  -  ...... )            - 4

  =  ----------------------------------     =  -------   =  minus  4

      lim ( 1 + x!2 + x²/12 +  ...... )             1