Grenzwert durch Potenzreihendarstellung

Question

Hallo

Kann jemand vollständig zeigen. Wie man bei diesem Beispiel geht.

Answer 1

$$\text{Potenzreihenentwicklung in } x=0:\\cos(x)=1-x^2/2 +...\\sin(x)=x+....\\\frac { 1-cos(x) }{ xsin(x) }\approx\frac { 1-(1-x^2/2) }{ xx }\\=\frac { x^2/2 }{ x^2 }=\frac { 1 }{ 2 } $$

Comments

Kannst du kurz erklären

Warum muss man nicht die vollständige Reihe bei Cosinus und bei Sinus benutzen, nur die erste Summanden mit x?

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Weil bei x≈0 nur die Terme niedrigster Ordnung, in denen noch x Auftritt  von Bedeutung sind, die anderen Terme werden zu klein und können vernachlässigt werden. Beim cos gibt es keinen Term x^1 deshalb musst du dort bis x^2 gehen und beim sin bloß bis x^1.