Potenzreihendarstellung von komplexen Zahlen mit Hilfe des Cauchy-Produkts

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für z ∈ C mit |z| < 1 die Potenzreihendarstellung mit Entiwicklungspunkt z₀ = 0 von \( \frac{1}{z - i} \) und \( \frac{1}{z + i} \) und daraus mit Hilfe des Cauchyprodukts eine Darstellung von 1/(1+z²)

Problem/Ansatz:

Die Potenzreihedarstellung von \( \frac{1}{z - i} \) ist also ∑(-1)ⁿ iⁿ⁺¹ zⁿ und \( \frac{1}{z + i} \) ist - ∑ iⁿ⁺¹ zⁿ . Jetzt muss ich 1/(1+z²) in Potenzreihendarstellung mit Hilfe des Cauchyprodukts bestimmen. Ich glaube dass 1/(1+z²) ist ein Produkt von \( \frac{1}{z - i} \) und \( \frac{1}{z + i} \) ist. Ich bin aber nicht sicher wie kann man 1/(1+z²)mit Cauchy Produkt in Potenzreihendarstellung bestimmen kann. Könnt jemand vielleicht mir erklären wie das funktoniert? Danke im Voraus.

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Answer 1

Hallo

"Ich glaube dass 1/(1+z2) ist ein Produkt von \( \frac{1}{z - i} \) und \( \frac{1}{z + i} \) ist.

So was sollte man nicht "glauben", sondern durch einfaches Nachberechnen (3.binom) feststellen.

dann das Cauchy Produkt der 2 bekannten Reihen bilden, das ergibt die Reihe für 1/(1+z^2)

Gruß lul