Analysis: Cauchy-Folge, Komplexe Zahlen

Question

Kann mir hier wer helfen? Ich weiß leider gar nicht wie ich das mit den komplexen Zahlen aufschreiben soll ud was Re zu bedeuten hat.

 

Sei (c_n)_n∈N eine Folge komplexer Zahlen. Zeigen Sie, dass (c_n)_n∈N genau dann eine (komplexe) Cauchy-Folge ist, wenn die beiden Folgen (Re c_n)_n∈N und (Im c_n)_n∈N (reelle) Cauchy-Folgen sind.

Answer 1

Jede komplexe Zahl c hat die Form a+ib mit reellen a,b und i²=-1

Re(c)=a, also nur der reelle Anteil, Im(c)=b, also nur der imaginäre Anteil (ohne i)

Du nimmst also an, dass die Folgen über Real- und Imaginärteil Cauchy sind und zeigst, dass auch die Folge über c Cauchy ist bzgl. komplexem Absolutbetrag schätze ich. Du wählst dann einfach die größere Schranke und geeignete epsilon und löst dann den komplexen Betrag mit entsprechender Abschätzung gegen epsilon

Comments

Hey danke für die schnelle Antwort :)
also ich hab das jetzt erst neu und verstehe das noch nicht..könntest du mir den Anfang gischteten. Ich weiß echt nicht wie was geschrieben wird

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(ich spar mir jetzt mal immer n∈ℕ zu schreiben)

Sei (c_n) eine Folge in ℂ, s.d. (Re(c)_n) und (Im(c)_n) Cauchy-Folgen in ℝ sind. Das heißt:

∀ ε>0 ∃ N,M∈ℕ: |Re(c)_n-Re(c)_m|<ε bzw. |Im(c)_r-Im(c)_s|<ε ∀n,m>N bzw. r,s>M (Definition von Cauchyfolgen)

Jetzt schau dir mal an, wie eine komplexe Cauchyfolge definiert ist und Versuch mal Re(c) und Im(c) einzusetzen und dann gegen ein geeignetes ε abzuschätzen

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kannst du das vielleicht zu ende führen ?

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Nicht auf die Schnelle, ich weiß nicht ob ich dafür Zeit finde, sry...