Zeigen Sie: Jede Cauchy-Folge komplexer Zahlen ist konvergent

Question

Aufgabe:

Jede Cauchy Folge komplexer Zahlen ist konvergent.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich habe Probleme bei Nr. 3 b), könnte mir jemand helfen b) zu zeigen ?

Text erkannt:

Aufgabe \( 3(2+2 \) Punkte \( ) . \) Eine Folge \( \left(z_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \subseteq \mathbb{C} \) heisst eine Cauchy-Folge, wenn es zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \) gibt, so dass \( \left|z_{m}-z_{n}\right|<\varepsilon \) für alle \( n, m \geq \mathbb{N} \). Zeigen Sie:
(a) Ist \( \left(z_{n}=x_{n}+i y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchy-Folge, so sind \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) CauchyFolgen reeller Zahlen.
(b) Jede Cauchy-Folge komplexer Zahlen ist konvergent.

Answer 1

Hallo,

wenn du a) a schon gezeigt hast, dann weißt du, dass x_n und y_n reelle Cauchyfolgen sind. Jede reelle Cauchyfolge konvergiert, weil ℝ ein vollständiger Raum ist. Also konvergiert auch die Folge
z_n = x_n + i* y_n

gegen den Grenzwert z= x+ i*y

Letzteres kann man aus der Definition des Grenzwerts zeigen.