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Zeige: Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.

Hallo liebe Mathe-Experten,

meine Frage steht in Titel. Wir hatten heute den Begriff der Cauchy-Folge kennen gelernt. Jetzt sollen wir zeigen, dass aus der Konvergenz die Cauchy-Folgen-Eigenschaft folgt. Aber ich habe keine Idee...

Könnt ihr mir bitte helfen?

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Aloha :)

Cauchy-Folge bedeutet ja, dass die Folgenglieder für fast alle n beliebig wenig voneinander abweichen. Nach Voraussetzung konvergiert die Folge \((a_n)\to a\). Daher gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb{N}\), sodass \(|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}\) für alle \(n\ge n_0\). Für zwei beliebige Folgenglieder \(a_n,a_m\) mit \(n,m\ge n_0\) gilt daher mit Hilfe der Dreiecksungleichung:$$\left|a_n-a_m\right|=\left|(a_n-a)+(a-a_m)\right|\le\left|a_n-a\right|+\left|a-a_m\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad\checkmark$$

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Danke euch beiden... \o/

Kann man das auch in umgekehrter Richtung zeigen?

Also dass jede Cauchy-Folge konvergiert?

Nein, das kann man nicht beweisen.

Das wird aber als sog. "Vollständigkeitsaxiom" gefordert.

Sowohl die reellen als auch die komplexen Zahlen sind vollständig im Sinne, dass jede Cauchy-Folge in \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) einen reellen bzw. komplexen Grenzwert besitzt.

Für den Beweis brauchst du Bolzano-Weierstraß und Gedankenreichtum

Wir sollten Eluna nicht verwirren. Deswegen nochmal kurz zur Klarstellung. Das Vollständigkeitsaxiom sagt in seiner Kernidee aus, dass die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) vollständig, also "ohne Lücken" sind. Man kann das Vollständigkeitsaxiom aus den Körperaxiomen und den Anordnungsaxiomen nicht beweisen. Diese Axiome gelten z.B. auch für die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\). Wenn man so will unterscheidet das Vollständigkeitsaxiom die rellen von den rationalen Zahlen. Es gibt aber meiner Kenntnis nach 6 äquivalente Formulierungen des Vollständigkeitsaxioms. Wenn man eine vorassetzt, kann man daraus die anderen 5 folgern, aber eben eine muss man voraussetzen.

1) Jede Cauchy-Folge in den reellen Zahlen konvergiert.

2) Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstraß).

3) Jeder Dedekind'sche Schnitt hat genau einen Trennungspunkt.

4) Zu jeder Intervallschachtelung gibt es genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.

5) Jede beschränkte Teilfolge enthält einen monotone Teilfolge, die ebenfalls beschränkt ist.

6) Jede beschränkte Folge besitzt ein Supremum.

Wow, super Zusammenfassung! :)

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Hallo,

Sei \(a\) der Grenzwert der reellen oder komplexen Zahlenfolge \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\). Insbesondere gilt dann, dass für alle \(\varepsilon >0\) ein \(N\in \mathbb{N}\) exisitiert, so dass  für \(n\geq N\) folgt, dass \(|a_n-a|<\varepsilon /2\). Für alle \(n>N\) folgt dann mit der Dreiecksungleichung für alle \(k,m>N\):$$|a_k-a_m|\leq |a_k-a|+|a_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$ Folglich ist jede konvergente Folge auch Cauchy-Folge.

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Doppelt hält besser! :)

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