Wir brauchen jetzt Folgen von Folgen, dazu folgende Bezeichnungskonvention: Wenn \((x_n)\) eine Folge in L ist, dann ist jedes \(x_n\) eine Folge in \(\R\), die ich mit \((x_n(i))\) bezeichne.
Sei also jetzt \((x_n)\) eine Cauchy-Folge in L, d.h.
$$\forall \epsilon>0: \quad \exist N \in \N:\quad \forall n,m \geq N: \quad d(x_n,x_m) < \epsilon \text{ (1)}$$
1. Für jedes i ist \((x_n(i))_{n \in \N}\) eine reelle Cauchy-Folge: Denn wegen (1) gilt:
$$\forall \epsilon>0\; \quad \exist N \in \N: \; \forall n,m \geq N: \quad |x_n(i)-x_m(i)| \leq d(x_n,x_m) < \epsilon $$
Daher ist \(x(i):=\lim_{n \to \infty}x_n(i)\) wohldefiniert.
2. Es ist \(x \in L\) und \(d(x,x_n) \to 0\). Denn zu \(\epsilon>0\) wählen wir N gemäß (1), dann gilt für \(n \geq N\) und jedes i und jedes \(m \geq N\):
$$|x(i)-x_n(i)| \leq |x(i)-x_m(i)+|x_m(i)-x_n(i)| $$
$$\leq |x(i)-x_m(i)|+d(x_n,x_m) \leq |x(i)-x_m(i)|+\epsilon$$
Durch Grenzübergang \(m \to \infty\) folgt für jedes i \(x(i)-x_n(i)| \leq \epsilon\). also \(d(x,x_n) \leq \epsilon\).
