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a) Betrachten Sie das Cauchy-Produkt der absolut konvergenten Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} 3^{-k} \) mit sich selbst um den Wert der Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^{k}} \mathrm{zu} \) bestimmen.
b) Bestimmen Sie durch weitere passende Cauchy-Produkte den Wert der Reihe
$$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{3^{k}} $$
c) Bestimmen Sie den von \( n \) abhängigen Wert der Partialsumme \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{3 k} \). Hinweis: Benutzen Sie die Abel-Summation (Lemma 1.27 ) oder schreiben Sie
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{3^{k}} \quad \) als \( \quad \sum \limits_{k=1}^{\infty}-\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} \)
d) Zeigen Sie, dass für alle reellen \( x \) die Reihe \( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k) !} \) absolut konvergent ist. Für die so auf \( \mathbb{R} \) definierte Funktion \( f \) beweise man
$$ \begin{array}{ll} f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y) & \text { für alle } x, y \in \mathbb{R} . \end{array} $$
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Ich bekomme das nicht hin bzw. verstehe nicht wie ?
