Mathematikklausur: Geometrische Körper. Kugel aus Würfel herstellen. Runde Kiste.

Question

Ich bin leider nicht wirklich ein Ass in der Mathematik, dennoch versuche ich gerade meine Klausur zu berichtigen, womit ich auch schon wieder sämtliche Schwierigkeiten bekomme. Ich bräuchte ein wenig Unterstützung bei 6 Geometrischen Aufgaben. Wäre super, wenn Sie mir ein paar Hilfestellungen zu jeder Aufgabe geben könnten.

1. Aus einem Würfel mit der Kantenlänge a=10 cm aus Plastilin soll eine Kugel geformt werden. Welchen Radius hat die Kugel?

2. Eine runde Kiste hat einen Durchmesser von 85 cm. Wie lang ist ein quadratisches Werkstück, welches gerade hineinpasst?

3. Ein Kanal ist auf der Sohle 32 m breit, die Entfernung beider Ufer beträgt 40 m, die Wassertiefe 4,20 m. Wie viel m³ Wasser strömen in 24 Stunden an einer Stelle vorbei, wenn die Strömungsgeschwindigkeit 35 m/h ist?

4. Ein kegelförmiger Sandhaufen hat am Boden einen Umfang von 15,71 m. Die Mantelhöhe misst 2,80 m. Wie viel Tonnen Sand sind vorhanden? Die Dichte von Sand beträgt: 1,5 kg/dm³.

5. Ein Blumentopf aus Kupfer (Dichte = 8,8 kg/dm³) von 3 mm Dicke und 20 mm Höhe hat die Gestalt eines Kegelstumpfes. Die äußeren Durchmesser sin d = 10 cm, D = 14,5 cm. Welche Masse hat der Topf?

6. Wie hoch muss ein Zylinder sein, der den gleichen Rauminhalt und den gleichen Durchmesser wie eine Kugel hat?

Ein paar Hilfestellungen wären super :-)

 

Answer 1

Hi, ich greife mal die folgende Aufgabe heraus:

6. Wie hoch muss ein Zylinder sein, der den gleichen Rauminhalt und den gleichen Durchmesser wie eine Kugel hat?

Wenn die beiden Körper den gleichen Durchmesser haben sollen, müssen sie auch den gleichen Radius haben. Es genügt also offenbar, die beiden Volumenformeln gleich zu setzen und nach der Zylinderhöhe umzustellen. Es wird sich einiges wegkürzen und die Höhe wird noch vom gemeinsamen Radius abhängen.

PS zur Kontrolle:
Es sollte h = 4r herauskommen.

Comments

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort :-)

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:

πr²h = 4/3πr³   l -π

r²h = 4/3r³        l -r²

h = 4/3r

 

Kann man das so stehen lassen?

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Ja, das ist richtig.
(Ich habe oben im PS mit einem Kegel statt mit einem Zylinder gerechnet.)

Answer 2

Zu 1.

Volumen Würfel ist    V= a³         V = 10³      V = 1000 cm³
Volumen Kugel ist   V = 4/3    *π *r³      nun dei  1000 für V einsetzen und nach r auflöesn

                                 r= ³√( V * 3/(4*π) )

                                 r= 6,2035cm

zu 2

das quadratische Werkstück hat als Diagonale den Radius der  kreisrunden Kiste

d= a√2                 d= 85            a=  85/ √2               a=60,1040 cm

Answer 3

zu 3) Querschnittsfläche des Kanals ist trapezförmig.

Flächeninhalt eines Trapezes (A)  = (a + c)*h/2

a = 40 m, b = 32 m und h = 4,2 m folgt A = 151,2 m²

Geschwindigkeit des Mediums, das diese Querschnittsfläche voll durchströmt, ist 35 m/h.

-> Volumenstrom = (Geschwindigkeit*durchströmte Fläche)/Zeit  = (35 m/h)*(151,2 m²) = 5292 m³/h

Volumen = Volumenstrom*Zeit = 5292 m³/h * 24 h = 127008 m³

zu 4) Formeln für den Kreiskegel anwenden, primäres Ziel: Volumenberechnung, danach über Dichte Massenberechnung

Umfang des Kreises = 2*π*r

Da der Umfang gegeben ist, kann der Radius r berechnet werden: r = u/(2*π) = (15,71 m)/(2*π)  = 2,5 m

V _Kreiskegel = (1/3)*π*r²*h mit h² = s² - r² folgt V _Kreiskegel = (1/3)*π*r²*√(s² - r²), s - Länge der Mantellinie ( = 2,8 m)

-> V _Kreiskegel = (1/3)*π*r²*√(s² - r²) = 8,25 m³ = 8,25 *(10)³ dm³

Dichte = Masse/Volumen -> Masse = Dichte*Volumen = 1,5 kg/dm³ *8,25 *(10)³ dm³ ≈  12 379 kg = 12,379 t

zu 5) Formeln für den Kreiskegelstumpf anwenden, primäres Ziel: Volumenberechnung, danach über Dichte Massenberechnung

Hier muss man erst zwei Volumina berechnen:

   - V1 mit h = 20 mm (?), d1 = 145 mm und d2 = 100 mm -> V₁ = (π/12)*h*(d1² + d2² + d1*d2) = 238368,3 mm³

   - V2 mit h = (20-3) mm, d1 = (145-2*3) mm und d2 = (100-2*3) mm -> V₁ = (π/12)*h*(d1² + d2² + d1*d2) =  183466,7 mm³

-> V1 - V2 = Volumen des materiebehafteten Blumentopfes = 54901,7 mm³ = 54901,7*(10^-2)³ dm³ = 0,055 dm³

Masse = Dichte*Volumen =  8,8 kg/dm³ *0,055 dm³ ≈ 0,48 kg 

Comments

3). musst du korrigieren; 5). solltest du phantasievoller bearbeiten

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bei 3) war ich schon zu weit. Habs korrigiert. Danke

bei 5) oh sehe grad, Durchmesser war ja in cm angegeben

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Hast du die Phantasie, dir vorzustellen, dass sich der Fragesteller verschrieben haben könnte ?

Hast du genug Phantasie, dir einen Blumentopf vorzustellen ? Du bearbeitest einen Blümchentopf (Vielleicht für Gänseblümchen ? Welche Wurzeltiefe haben die ?)

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Ja, ist mir schon klar, dass die Blumentopfhöhe etwas klein ausfällt, deswegen habe ich da auch ein "?" gesetzt.