Wurzelterme umformen / vereinfachen ⁴√((x^8)/(16*y^{-4}))

Question

Aufgaben Termumformungen/Vereinfachen:

1.1) \( \left(\sqrt{\frac{x+2}{6}}+\sqrt{\frac{x-2}{6}}\right) \cdot\left(\sqrt{\frac{x+2}{6}}+\sqrt{\frac{x-2}{6}}\right) \)

1.2) \( \sqrt[4]{\frac{x^{8}}{16 \cdot y^{-4}}} \)

Answer 1

Wurzelterme umformen / vereinfachen

 ⁴√((x⁸)/(16*y^-4))            | durch y^{-4} ist dasselbe wie mal y^4 und 16 = 2^4

=  ⁴√((x⁸ y^4)/(2^4))            |Vierte Wurzel: alle Exponenten durch 4 teilen

= (x^2 y )/ 2              , Nachtrag: y≠0 vgl. Diskussion im Kommentar.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E8%29%2F%2816*y%5E%28-4%29%29%29%5E%281%2F4%29

Nun entweder wie WolframAlpha: Annehmen, dass x und y > 0 oder Betragszeichen | | benutzen. Also

  ⁴√((x⁸ y^4)/(2^4)) 

=  (x^2 |y| )/ 2    , wobei y≠0.

(√((x+2)/6) + √((x-2)/6 )))^2           |binomische Formel

= ((x+2)/6) + 2(√((x+2)/6) *√((x-2)/6 ) ) + ((x-2)/6 )        |sortieren, Brüche addieren, Wurzel zusammenfassen

= ((x+2+x-2)/6) + 2√(((x+2)/6)(((x-2)/6 )               |Bruchmultiplikation

= (2x)/6 + 2√(((x+2)(x-2))/36)        |        Wurzel aus Nenner, Zähler: 3. Binom

= (2x)/6 + 2/6√(x^2 -4)         

= x/3 + 1/3 √(x^2 -4)

= 1/3 (x+√(x^2 -4))

Unbedingt sorgfältig nachrechnen und Korrekturen melden.
Kontrolle damit https://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+%28√%28%28x%2B2%29%2F6%29+%2B+√%28%28x-2%29%2F6+%29%29%29%5E2 zeigt, dass das Resultat stimmt.

Comments

durch y^-4 ist dasselbe wie mal y⁴

Das möchte man meinen, stimmt aber nicht. Der linke Term ist für y=0 gar nicht definiert, der rechte wäre es schon. Somit sind die Terme nur dann gleichwertig, wenn zuvor der Definitionsbereich beider Terme geeignet eingeschränkt wird.

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hh18: Danke. Normalerweise sind vorgegebene Terme so zu lesen, wie wenn sie maximalen Definitionsbereich hätten. D.h. y=0 wäre schon in der Fragestellung ausgeschlossen. Ich habe es beim Resultat nun noch ergänzt.

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Ja, aber es ist wichtig, sich solcher Details bewußt zu sein. Wir wissen also jetzt, dass y≠0 sein muss. (In Schulbüchern lautet die entsprechende Anweisung oft: "Gib einschränkende Bedingungen an!") Desweiteren darf y auch negativ sein und dann wäre dein vereinfachter Term ebenfalls negativ, während der ursprüngliche Term dies auf keinen Fall sein kann...