Mathematisch korrekt zeigen das lim n->∞ √(n²+2n+1-3n)=∞?

Question

Darf ich, um den Grenzwert im unendlichen von √(n²+2n+1-3n) bezüglich n zu zeigen, einfach so sagen, dass ich nur die höchste Potenz beobachte und alles andere wegfallen lasse? Dann ergibt sich ja √(∞) was ∞ ist. Ich weiß, dass ich das früher in der Realschule immer so gemacht habe, bin mir nur nicht sicher ob das auch später so OK ist. Ich wüsste zumindest nichts was dagegen sprechen würde, da n² ja sehr viel schneller gegen unendlich läuft und n²+-n mit lim n->∞ soweit ich weiß auch als ∞ definiert ist. Ich bin nur etwas verunsichert, da die Aufgabe verhältnismäßig etwas zu leicht wirkt.

Answer 1

√(n² + 2·n + 1 - 3·n)

= √(n² - n + 1)

= √(n² - n²/n + 1·n²/n²)

= √(n²·(1 - 1/n + 1/n²))

= n·√(1 - 1/n + 1/n²)

Wenn n gegen unendlich geht kann man das Produkt der Grenzwerte nehmen und das wäre unendlich mal 1 was unendlich ist.

Comments

Ah super, also einfach alle anderen nicht betrachten darf man nicht? Wobei es das ja mit dem Rechenweg glücklicherweise auch dann nicht viel komplexer macht :)

Danke :)

Answer 2

Darf ich, um den Grenzwert im unendlichen von √(n^2+2n+1-3n) bezüglich n zu zeigen, einfach so sagen, dass ich nur die höchste Potenz beobachte und alles andere wegfallen lasse? Dann ergibt sich ja √(∞) was ∞ ist. Ich weiß, dass ich das früher in der Realschule immer so gemacht habe, (...)

Solche Sachen macht man in der Realschule? Ist die Folge überhaupt richtig dargestellt?
Immerhin ist √(n^2+2n+1-3n) = √(n^2-n+1), was man auch gleich hätte hinschreiben können.

Nehmen wir an, die Folge sei tatsächlich so gemeint. Im Prinzip hast Du schon recht mit Deiner Aussage, dass √(n^2-n+1) dasselbe Grenzverhalten an den Tag legt wie das wesentlich einfachere √(n^2)=n. Der Beweis dafür (siehe die andere Antwort) ist ein Standardbeweis, der sich leicht auf ähnliche Fälle verallgemeinern lässt und durch ständiges Wiederholen auch nicht wahrer wird, so dass ich der Meinung bin, dass man Dein Verfahren nutzen kann, ohne ständig diesen Beweis anführen zu müssen.

Eine andere mögliche Vorgehensweise besteht darin, den Radikanden von √(n^2-n+1) zu verkleinern, um eine unbeschränkte Minorantenfolge zu gewinnen. Das kann hier aber nicht dadurch geschehen, dass wir alles außer dem n^2 weglassen, da hierdurch wegen dem -n der Radikand größer würde. Offenbar ist

√(n^2-n+1-n) ≤ √(n^2-n+1) ein Ansatz für eine richtige Minorante. Es folgt

√(n^2-2n+1) ≤ √(n^2-n+1)

√((n-1)^2) ≤ √(n^2-n+1)

n-1 ≤ √(n^2-n+1)

Nun ist offensichtlich, dass die linke Seite, unsere Minorante, unbeschränkt wächst und die rechte Seite, also unsere ursprüngliche Folge muss dies dann auch tun.