Untersuche die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: ∑((n^2 + n + 5)/(3n^4-4n+3))

Question

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{  }\frac { n^2+n+5 }{ 3n^4-4n+3 }  $$

Brauche Hilfe

Comments

Man kann hier zum Beispiel eine konvergente Majorante der Form

a*∑ 1/n^2 basteln.

Answer 1

(n² + n + 5)/(3n⁴-4n+3) 

= (1+1/n + 5/n^2)/(3n^2 - 4/n + 3/n^2)        | spätestens für n> 5

                                                              |Zähler vergrössern, Nenner verkleinern

< 2 / (3n^2 - 4/n)                        |Nenner weiter verkleinern 4/n < n^2

< 2/(3n^2 - n^2) = 2/(2n^2)

= 1/n^2

= a*1/n^2      mit a=1.

Daher ist ∑ 1/n² (für n > 5) eine konvergente Majorante.

Kontrolliere noch durch Einsetzen und Ausrechnen, ob keiner der vorangehenden Summanden undefiniert ist.

Wenn das stimmt, folgt ∑((n² + n + 5)/(3n⁴-4n+3) ) konvergiert.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∑%28%28n%5E2+%2B+n+%2B+5%29%2F%283n%5E4-4n%2B3%29%29&dataset=&equal=Submit

Konvergiert übrigens auch absolut, da spätestens für grössere n alle Summanden der gegebenen Folge positiv sind.