Nullstellen des Polynoms p(z)=z^4-2z^3+12z^2-4z+20 bestimmen. Komplexe Zahlen.

Question

Nullstellen des polynoms ermitteln

p(z)=z^4-2z^3+12z^2-4z+20

p(√2i)=0

danke schonmal

Comments

Tipp: Wenn  √2i  Nullstelle von  p  ist, dann ist auch  -√2i  Nullstelle von  p. D.h.  p  sollte ohne Rest durch  z² + 2  teilbar sein.

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Hat geklappt das Ergebnis stimmt aber wie kommst du auf z^2+2 ? :)

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√2i  und -√2i  sind Nullstellen einer quadratischen Funktion. Deren Koeffizienten kannst du z.B. mit Vieta berechnen.

Answer 1

War ja schon richtig gesagt. Wenn √2·i eine Nullstelle ist ist es auch - √2·i. Die Linearfaktoren lauten dann

(z + √2·i)*(z - √2·i) = z^2 - (√2·i)^2 = z^2 + 2

Nun Polynomdivision anwenden

--> https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

(z^4  - 2z^3  + 12z^2  - 4z  + 20) : (z^2 + 2)  =  z^2 - 2z + 10  
z^4          +  2z^2            
————————————————————————————————    
- 2z^3  + 10z^2  - 4z  + 20    
- 2z^3           - 4z          
———————————————————————————              
10z^2        + 20              
10z^2        + 20              
—————————————————                              
0

Jetzt noch Nullstellen von z^2 - 2z + 10 suchen und finden

z = 1 - 3·i ∨ z = 1 + 3·i

Answer 2

Schönes Beispiel für die Anwendung der PQRSTUVW Formel unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php   

(auch ohne das "Vorsagen p(√2i)=0")