Wie hängen Faktor vor dem Integral und Integrationsgrenze zusammen? Integrand ist |sin(x)|.

Question

Hey also ich habe folgende aufgabe:

vor meinem integral steht der faktor 3 meine integralgrenzen sind 0(unten) und 2π(oben) im nächsten schritt wird vereinfacht und der vorfaktor wird zu 12 während sich die integralgrenzen zu 0(unten) und 0,5π (oben ) ändern. Im selben schrittverschwinden im integral die betragsstriche. (im integral steht sin(x))

kann sich jemand erklähren wie eine solche umwandlung funktioniert ?

 

Comments

Hi, es wurden verschiedene Symmetrieeigenschaften des Graphen der Sinusfunktion ausgenutzt und nur ein Viertel der Fläche durch das Integral berechnet. Das Ergebnis muss also vervierfacht werden.

Im Übrigen muss es "...im Voraus" heißen.

PS: Mir fällt gerade auf, dass ich jetzt eine dreistellige Nummer in der Kennung habe ... jetzt bin auf 180!

Answer 1

Schau dir einfach mal die Flächen bei der Sinusfunktion an. Eventuell erkennst du das die blaue Fläche genau 4 mal so groß ist wie die grüne.

Vielleicht sollte ich dazu sagen das die blaue Fläche eigentlich auch bei 0 beginnt und natürlich von der grünen bis pi/2 genau überdeckt wird.

Comments

Hi, den zweiten Satz kannst Du streichen, er ist zum einen immer noch falsch und zum anderen sagt das Bild doch sicher das aus, was es hier mitzuteilen gibt.

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@gasthh180,

was ist an der Aussage des mathecoachs denn falsch ?
Erklär´s mir einmal.
Blaue Fläche : 0 .. 2 * π
Grüne Fläche : 0 .. 1/2 * π
Für mich ist alles bestens beschrieben.
mfg Georg

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Ich hatte den Satz: "Vielleicht sollte ich dazu sagen das die blaue Fläche eigentlich auch bei 0 beginnt und natürlich von der grünen bis pi/2 genau überdeckt wird." wohl gleichzeitig dazugefügt wo hh180 den Kommentar geschrieben hat.

Denn die blaue Fläche ist ja nur 3 mal so groß wie die grüne. Aber das kommt ja eigentlich nur weil sich hier die Flächen überschneiden.

Das ist etwas dumm zu formulieren. Aber wenn du es verstanden hast, bin ich beruhigt.

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@mathecoach
Manchmal habe ich den Eindruck man korrigiert nachher nichts
mehr. Beziehen sich weitere Kommentare auf einen Fehler
ist es vielleicht besser den Fehler stehen zu lassen und einen
weiteren Kommentar anzufügen.
 ( 22:40 Uhr )
mfg Georg

Answer 2

Ich antworte doch nocheinmal auf alle deine Fragen.

"  vor meinem integral steht der faktor 3 meine integralgrenzen sind
0(unten) und 2π(oben) im nächsten schritt wird vereinfacht und der
vorfaktor wird zu 12 während sich die integralgrenzen zu 0(unten) und
0,5π (oben ) ändern. Im selben schrittverschwinden im integral
die betragsstriche. (im integral steht sin(x)) "

f ( x ) = 3 * ∫₀^2*π  | sin ( x ) | dx

Die von dir beschriebenen Umwandlung  lässt sich nur über
die Eigenschaften der sin Kurve verstehen. ( siehe Skizze Mathecoach ).

In den Integralgrenzen 0 .. 2*π würde der Wert des Integrals null.
Warum ?  Die positive Fläche und die negative Fläche heben sich auf.

Die Funktion sin ( x ) steht aber in Betragszeichen. Deshalb werden die
Funktionswerte von π .. 2 * π  positiv. Die 2.Hälfte der Kurve kommt nach oben.

Schaut man sich die Kurve an sieht man das die Fläche des Bereichs
0 .. π /2  genau  1/4  der Gesamtfläche beträgt.

Es kann also geschrieben werden

f ( x ) = 3 * 4 * ∫₀^π/2  | sin ( x ) | dx

Und da die Fläche zwischen  0 .. π /2 im positiven Bereich ist können
die Betragsstriche weggelassen werden.

f ( x ) = 12 * ∫₀^π/2   sin ( x )  dx

  Ich hoffe meine Deutung stimmt mit der bei dir angegebenen
Umwandlung überein.

  mfg Georg