Flächenberechnung: Gleichseitiges Dreieck mit Umkreis und Inkreis

Question

Hier wieder eine kleine Aufgabe aus der Mathe-Challenge

Flächenberechnung: Gleichseitiges Dreieck mit Um- und Inkreis

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a. Zu diesem Dreieck ist sein Um- und sein Inkreis gegeben.

Wie groß ist der Anteil der Fläche vom Dreieck an der Fläche vom Umkreis?

Wie groß ist der Anteil der Fläche vom Inkreis an der Fläche vom Dreieck?

Answer 1

a)

Höhe des Dreiecks:

(a/2)^2+h^2 = a^2

h^2 = (3/4)a^2

h = √3/2 *a

Radius des Umkreises:

r^2 = (a/2)^2+(h/2)^2 = a^2/4+(3/16)a^2 = (7/16)a^2

r = √7/4*a

Fläche des Kreises:

r^2*π = (7/16)*a^2*π

Fläche des Dreiecks:

a*h/2 = a*(√3/4)*a/2 = √3*a^2/8

A_D/A_Kr:

(√3*a^2/8)/(7a^2*π/16) = 2*√3/(7*π) = 0,1575 = 15,75 %

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.

Comments

Hm. Du meist die Fläche des Dreiecks sind 15% von der Fläche des Umkreises. Das erscheint mir schon optisch etwas wenig, meinst du nicht auch?

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Allerdings. Wo ist mein Rechenfehler ? Danke.

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Bereits der Ansatz für den Umkreis ist falsch

r² = (a/2)² + (h/2)²

Zeichne dir mal die halbe Höhe ein und überlege ob das richtig sein kann.

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Es sehe es jetzt. Danke.

Man muss mit den Winkelhalbierenden rechnen. Sie halbieren die Winkel des Dreiecks. Dann gilt:

cos 30° = (a/2)/r

r = (a/2)/cos 30°

r ~ 0,4330a

Damit hat der Kreis die Fläche: (0,4330a)^2*π.

Stimmt das soweit ?

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r = (a/2)/cos 30°
r ~ 0,4330a

Wenn man jetzt noch durch cos(30°) teilen würde und nicht damit multiplizieren würde wäre es richtig.

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Verstehe, so haben die Illuminaten also früher Mathe gelernt ;).