Integration durch Substitution "andersherum". x = arctan(t).

Question

Ich habe da mal eine letzte Frage zur Integration durch Substitution:

Ich soll das bestimmte Integral $$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x \mathrm dx$$ berechnen.
Dazu steht der Hinweis: Substitution x = arctan x; arctan 1 = ^π/₄.

Nun haben wir bisher bei Integration durch Substitution immer einen "größeren" Term durch z.B. ein "u" ersetzt, dieses dann abgeleitet, die Grenzen angepasst und dx in Abhängigkeit von du geschrieben und damit dann das Integral bestimmt.

Hier ist es ja "anders herum". Wir ersetzen das "kleine" x durch arctan t. Muss ich denn nun arctan ableiten?
$$(\arctan(t))\prime = \frac{1}{x^2+1}$$. Wie kann ich damit meine Grenzen anpassen oder dx darstellen?

 

Comments

Den arctan brauchst du vielleicht nur, um die Grenzen zu ändern.

---

Du meinst im Hinweis offensichtlich
Substitution x = arctan( t)

---

Vgl. meine Antwort.

Answer 1

Zunächst geht es darum die Stammfunktion zu finden.
Wie man das mit dem arctan bewerkstelligt wüßte ich nicht.

Mein Vorschlag : Substituion
u = tan x
u´ = ( tan x )^2 + 1 = du / dx
dx = du / [ ( tan x )^2 + 1 ]
tan x = u
dx = du / [  u^2 + 1 ]
∫ tan x * dx
substituieren
∫ u * du / [ u^2 + 1 ]
∫ u / [ u^2 + 1 ] * du
steht im Zähler die Ableitung des Nenners ist die Stammfunktion
die  ln - Funktion. Mal probieren
[ ln ( u^2 + 1 )  ] ´ = ( 2 * u ) / ( u^2 + 1 )
Der Faktor 2 stört noch wird wird aufgehoben durch

1/2 * ln ( u^2 + 1 )  ( Stammfunktion )
Rücksubstituieren
u = tan x
1/2 * ln [ ( tan x )^2 + 1 ]
Zur Probe kann die Stammfunktion abgeleitet werden
und muß die Ausgangsfunktion ergeben.

Das bestimmte Integral in den Grenzen 0.. π/4
wäre dann
[ 1/2 * ln  ( ( tan x )^2 + 1 )) ]₀^π/4
eingesetzt
1/2 * ln  ( ( tan (π/4) )^2 + 1 ))  - 1/2 * ln  ( ( tan 0 )^2 + 1 ))

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.
Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

 

Answer 2

Du meinst im Hinweis offensichtlich
Substitution x = arctan( t)

dx/dt = 1/(1+t²) 

Ergibt das Integral 

∫tan(arctan(t)) /(1+t²) dt 

= ∫ t / (1+t²) dt 

Nun noch u = 1+ t² substituieren. 

Du kannst auch die Grenzen erst nach der Rücksubst. wieder setzen, damit es kein Durcheinander gibt. 

arctan 1 = ^π/₄.

würde nun heissen, dass t bis 1 läuft.

Nur wie gesagt

Warum nicht Folgendes?

tanx = sinx/cosx
und dann u = cosx

du/dx = -sinx

Das Integral ist dann

∫ -1/u du

....

Comments

Hallo Lu und danke für die Antwort. sin x / cos x wäre mir auch lieber gewesen, aber es sollte nun explizit wie oben geschehen. Danke, du hast mich aus meiner Verwirrung gerettet ;)