Symmetrieverhalten untersuchen

Question

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ich bin gerade etwas verwirrt, wie man nun das Symmetrieverhalten einer Funktion untersucht.

Habe mir irgendwann einmal folgendes notiert:

f(x) = f(-x) → Achsensymmetrisch

f(x) = -f-(x) -----> Punktsymmetrisch

Und wenn weder noch zutrifft also:

f(x) ≠ f(-x)

f(x) ≠ -f(-x)

dann existiert überhaupt keine Symmetrie.

Bsp. Achsensymmetrisch: f(x) = 2x² + 3

f(-x) = 2(-x)² + 3 = 2x² + 3

f(x) = f(-x) → Passt.

Bsp. Punktsymmetrisch: f(x) = 2x³ + 3

-f(-x) = -2(-x³) + 3

= 2x³ + 3

f(x) = -f(-x) → Passt.

Ist das alles so korrekt? Verwirrt mich schon etwas länger diese Geschichte.

Grüße

Comments

Hast du dir schon das Video zur Symmetrie angeschaut? https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Answer 1

das gründsätzliche Vorgehen ist richtig, du hast allerdings im zweiten Bsp. einen Rechen/Aufschriebfehler:

-f(-x)=-(2(-x)³+3)=-(-2x³+3)=2x³-3 und damit ist die Funktion richtigerweise nicht punktsymmetrisch (zum Ursprung).

Answer 2

Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung hast du die Formel f(x) = - f(-x)

Im Link wird f(-x) = -f(x) getestet.

Das ist aber dasselbe, wenn man's richtig macht, denn

f(x) = -f(-x)           |*(-1)

-f(x) = f(-x)

Nun zu deinem Beispiel:

Du hast f(x) = 2x^3 + 3

Nun ist  - f(-x) = - (2(-x)^3 + 3) = - (-2x^3 + 3) = 2x^3 - 3 ≠ f(x)

Daher keine Symmetrie zum Ursprung. Du hattest einen Fehler bei der Klammerung.

Entweder du passt ganz gut auf mit der äusseren Klammerung oder du benutzt die Formel, die im Link angegeben ist.

-f(x) = f(-x)

f(x) = 2x^3 + 3

f(-x) = 2(-x)^3 + 3 = -2x^3 + 3

-f(x) = -(2x^3 + 3) =  -2x^3 - 3     nicht dasselbe. Dh.h f ist nicht symmetrisch zum Ursprung.

Beachte: Die beiden Symmetrien, die du bei Kurvendiskussionen standardmässig prüfst beziehen sich nur auf Symmetrie bezüglich y-Achse und Ursprung.

Andere Punktsymmetrien und Achsensymmetrien sind immer noch möglich.

So hat der Graph jeder echt quadratischen Funktion eine Symmetrieachse. Sie verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel.

Der Graph jedes Polynoms 3. Grades ist symmetrisch bezüglich dem Wendepunkt.

f(x) = 2x^3 + 3 ist punktsymmetrisch bezüglich P(0,3) (nicht Ursprung). Du kannst als Übung das hier oder gar die allgemeinen Behauptungen, die ich gerade aufgestellt habe selbst zu beweisen.