Symmetrieverhalten und Nullstellen eines Terms bestimmen

Question

Gegeben ist die Funktion mit dem Term f(x) = -0,5x⁴ + 2x² .

Bestimme das Symmetrieverhalten und die Nullstellen ( nicht durch Probieren ) mit ihrer jeweiligen Vielfachheit!

Skizziere unter Berücksichtigung der Ergebnisse den zugehörigen Graphen G_f .

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=-0,5x^4+2x^2=-\frac{1}{2}x^2\left(x^2-4\right)=-\frac{1}{2}x^2(x-2)(x+2)$$

Weil die Funktion nur gerade Exponenten hat, ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Das kann man auch rechnerisch nachweisen:$$f(-x)=-0,5(-x)^4+2(-x)^2=-0,5x^4+2x^2=f(x)$$

Nach der Umformung  in der obersten Zeile erkennt man eine doppelte Nullstelle bei \(x=0\), das heißt, dort berührt der Graph die \(x\)-Achse, schneidet sie aber nicht. Man erkennt auch zwei einfache Nullstellen, eine bei \(x=2\) und eine bei \(x=-2\). Dort schneidet der Graph die \(x\)-Achse.

~plot~ -0,5x^4+2x^2 ; [[-3|3|-5|3]] ~plot~