Wo liegen die Nullstellen von ax^n / (bx^2 - c) und was lässt sich über das Symmetrieverhalten sagen?

Question

Bestimme die Nullstellen und das Symmetrieverhalten der Funktion

f(x)= ax^n / (bx^2 - c)

 

Vielen Dank schonmal!!

Answer 1

Ich nehme mal an, dass die folgende Funktion gemeint ist:

$$ f ( x ) = \frac { a x ^ { n } } { b x ^ { 2 } - c } $$

Für c ≠ 0 existiert genau eine Nullstelle bei x=0.

Falls c=0 gilt, dann liegt bei x=0 weiterhin eine Nullstelle vor, falls n>2 gilt.

Für die Symmetrie muss f(-x) überprüft werden:

Der Nenner ändert sich offenbar nicht, wenn man -x einsetzt. Der Zähler ändert genau dann sein Vorzeichen, wenn n eine ungerade Zahl ist und behält sein Vorzeichen bei, wenn n eine gerade Zahl ist.

Das heißt: falls n gerade ist, ist f achsensymmetrisch zur x-Achse. Falls n ungerade ist, ist f punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ist n keine ganze Zahl, dann ist die Funktion nur für x≥0 definiert.

Comments

super danke, kannst du mir vielleicht noch die 1.Ableitung zu dieser Funktion sagen?

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Hier musst du nach der Quotientenregel ableiten:

Wenn f(x) = u(x)/v(x) lautet, dann gilt:

f' = (u'v - uv')/v²

Also:

$$ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( x ) = \frac { \left( \operatorname { nax } ^ { n - 1 } \right) \left( b x ^ { 2 } - c \right) - 2 b x \cdot a x ^ { n } } { \left( b x ^ { 2 } - c \right) ^ { 2 } } } & { = \frac { ( n - 2 ) a b x ^ { n + 1 } - n a c x ^ { n - 1 } } { \left( b x ^ { 2 } - c \right) ^ { 2 } } } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = a x ^ { n - 1 } \frac { ( n - 2 ) b x ^ { 2 } - n c } { \left( b x ^ { 2 } - c \right) ^ { 2 } } } \end{array} $$