Steckbriefaufgabe: Suche die Gleichung für f(x)=ax^3+bx .

Question

Ich habe folgendes Problem: ich möchte gerne die funktionsgleichung f(x)=ax^3+bx herausfinden. Ich habe gegeben : die Nullstellen bei -(wurzel aus 3) und + (Wurzel aus 3); scheitelpunkte bei S(-1/1) &; S(1/-1). Ich habe die Scheitelpunktwerte jeweils in f(x)=ax^3+bx eingesetzt: 1=a*(-1)^3+b*(-1) ,-1=a*1^3 +b*1 dann erhalte ich das hier wenn ich die beiden gleichungen einzeln ausrechne: 1=-a-b, -1=a+b da ich a und b herausbekommen will habe ich eine Gleichung von der anderen subtrahiert und habe folgendes erhalten: 2= -2*a-2*b dann hab ich nach b umgestellt und hab für b= -1-a heraus dann hab ich eingesetzt: 1=-a-(-1-a) 1=-a+1+a aber a löst sie auf ( das ist schonmal ein problem womit ich nicht klar komme und wenn ich vorher nach a umstelle und einsetze habe ich ein ähnliches Problem a umgestellt: a=-1+b einsetzen: 1=-(-1+b)-b 1=+1-b -b 1=1-2*b |-1 0=2*b Wenn ich durch zwei teile wird b auch null wo liegt mein Fehler und wie finde ich nun die Gleichung nun heraus??

Comments

Welches davon ist jetzt der Scheitelpunkt? S(-1/1) & S(1/-1).

Du hast zweimal S?  Ist vielleicht ein anderer S ein beliebiger Punkt?

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In meiner skizze sehe ich zwei maximalwerte da es eine funktion dritten grades ist nehme ich wohl an, dass es keine Scheitelpunkte sind. der graph verläuft punktsymmetrisch

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Eine Parabel 3. Grades hat keine Scheitelpunkte. Wie lautet denn die Fragestellung genau?

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Ahsoooooooooooo ich verstehe, ich habe es falsch gelesen!!

Ich dachte da steht ax²  Tut mir leid!!

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Nehmen wir trotzdem an die scheitelpunkte sind einfache punkte. was habe ich denn falsch ausgerechnet? Ich möchte ja a und b herausbekommen

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1=-a-b, -1=a+b
Das ist 2 mal dieselbe Gleichung. Du hast ja die Symmetrie in deinem Ansatz schon drinn. Da nützen symmetrische Punkte nichts.
Du musst noch eine weitere Gleichung aufstellen.

Ich nehme man an, dass die beiden S relative Extremalstellen sind.

y = ax^3 + bx

y' = 3ax^2 + b       , x=1 einsetzen, muss 0 geben.

0 = 3a + b       (II)

nun kannst du (II) und eine der beiden andern Gleichungen bestimmt nach a und b auflösen.

Answer 1

1=-a-b, -1=a+b 
Das ist 2 mal dieselbe Gleichung. Du hast ja die Symmetrie in deinem Ansatz schon drinn. Da nützen symmetrische Punkte nichts. 
Du musst noch eine weitere Gleichung aufstellen. 

Ich nehme man an, dass die beiden S relative Extremalstellen sind. 

y = ax³ + bx 

y' = 3ax² + b       , x=1 einsetzen, muss 0 geben. 

0 = 3a + b       (II) 

nun kannst du (II) und eine der beiden andern Gleichungen bestimmt nach a und b auflösen.

-1 = a+b
0=3a + b
------------- (II) -(I)

1 = 2a

a = 1/2

Wegen (I) --> b = -1.5

y = 0.5x^3 - 1.5x

Kontrolle: Skizze

Comments

Vielen Dank war eine sehr große Hilfe :-)

Answer 2

Nullstellen bei \( -\sqrt{3} \) und \( \sqrt{3} \)

Extremwerte \(E_1(-1|1)\)    \(E_2(1|-1)\)  →   Nullstelle bei \(x=0\)

\(f(x)=ax(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\)

\(E_1(-1|1)\):

\(f(-1)=-a(-1+\sqrt{3})(-1-\sqrt{3})\)

\(-a(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1\)      \(a(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-1\)         \(a=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\)