Der Graph der Funktion f: ax^3+bx^2+cx+d geht durch die Punkte A(3/0), B(4/ 5/6), C(-4/ -7/2)...

Question

Der Graph der Funktion f: x ax³+bx²+cx+d geht durch die Punkte A(3/0), B(4/ 5/6), C(-4/ -7/2)
und schneidet die x-Achse in A unter einem Winkel von 30°.

Berechnen Sie die Koeffizienten a, b, c, d!
Wie lauten die weiteren Nullstellen?

 

Danke

Comments

Tipp vorweg: Steigungswinkel 30°. Bedeutet Steigung m= tan(30°) = 1/√3

Vielleicht kommst du damit ja schon ein Stück weit.

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A(3/0), B(4/ 5/6), C(-4/ -7/2)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(3) = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 0

f(4) = 5/6
64·a + 16·b + 4·c + d = 5/6

f(-4) = -7/2
64·a - 16·b + 4·c - d = 3.5

f'(3) = tan(30°) = 1/√3
27·a + 6·b + c = 1/√3

Das ist jetzt ein Gleichungssystem welches man lösen kann. Wir erhalten die Lösung:

a = 19/168 - √3/21
b = √3/7 - 25/84 
c = 16·√3/21 - 71/56
d = 24/7 - 16·√3/7

Damit lautet die Funktion

f(x) = x^3·(19/168 - √3/21) + x^2·(√3/7 - 25/84) + x·(16·√3/21 - 71/56) - 16·√3/7 + 24/7
f(x) = 0.03061662821·x^3 - 0.05018321796·x^2 + 0.05180061528·x - 0.5304018458

Hier noch eine Skizze

Answer 1

 

Meine Antwort hatte ich ja bereits schon als Kommentar geschrieben. Da ich auf keine weiteren Nullstellen komme überprüfe doch bitte mal die Angabe der Punkte.

 

A(3 | 0), B(4 | 5/6), C(-4 | -7/2)

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f(3) = 0 
27·a + 9·b + 3·c + d = 0

f(4) = 5/6 
64·a + 16·b + 4·c + d = 5/6

f(-4) = -7/2 
64·a - 16·b + 4·c - d = 3.5

f'(3) = tan(30°) = 1/√3 
27·a + 6·b + c = 1/√3

Das ist jetzt ein Gleichungssystem welches man lösen kann. Wir erhalten die Lösung:

a = 19/168 - √3/21 
b = √3/7 - 25/84  
c = 16·√3/21 - 71/56 
d = 24/7 - 16·√3/7

Damit lautet die Funktion

f(x) = x³·(19/168 - √3/21) + x²·(√3/7 - 25/84) + x·(16·√3/21 - 71/56) - 16·√3/7 + 24/7 
f(x) = 0.03061662821·x³ - 0.05018321796·x² + 0.05180061528·x - 0.5304018458