Steckbriefaufgabe: f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d ermitteln

Question

Aufgabe:

Angaben:

f(x)= a x^3 + b x^2 + c x + d

1) Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

2) Graph schneidet die x-Achse im (-3;0)

3) Graph schließt mit der x-Achse im 2. Quadranten einen Flächeninhalt \( \frac{9}{8} \) F.E. ein

Gesucht wird die Funktion f(x)

Problem/Ansatz:

Aus 1) f(-x) = - f(x)

-ax^3 + bx^2 -cx+d = -ax^3-bx^2-cx-d

bx^2 = -2d

d= bx^2 /2 ???

Aus 2) f(-3)= 0

-27a+9b-3c+d=0

Ich komm hier nicht weiter

Aus 3)

Ich soll F (Stammfunktion) bestimmen dann F(0) - F(X) berechnen oder? (X ist hier im Minusbereich da im 2 Quadranten oder?)

Ich kann es leider nicht ermitteln aber F(x) müsste so sein:

a/4 x^4 + b/3 x^3 + c/2 x^2 + dx

stimmt?

_______

Wie ermittle ich dann die Werte von a,b,c und d?

und geht das nur mathematisch oder sollte man durch Skizze was ermitteln?

Ich bin dankbar für jede Antwort. Ich hoffe, man kann verstehen, was ich geschrieben habe

Comments

Aus 1) f(-x) = - f(x)

-ax^{3} + bx^{2} -cx+d = -ax^{3}-bx^{2}-cx-d

bx^{2} = -2d

d= bx^{2} /2 ???

Das ist im Prinzip richtig, allerdings hast du links den Faktor 2 verloren und vergessen, die Früchte deiner Arbeit zu ernten. Es gilt:

-ax^{3} + bx^{2} -cx+d = -ax^{3}-bx^{2}-cx-d

=> 2*bx^{2} = -2*d   |   :2

=> bx^{2} = -d

=> b = d = 0.

Answer 1

Um eine kubische Funktion in der Ebene festzulegen, braucht es im Allgemeinen vier Punkte (drei bei einer Parabel, zwei bei einer Geraden). Hier ist es einfacher, weil b=0 und d=0 (folgt aus "punktsymmetrisch zum Ursprung"). Es sind noch zwei Unbekannte (a und c).

Bekannt ist:

f(-3) = 0 (folgt aus 2)

f(3) = 0 (folgt aus 1)

0 - (1/4 ax⁴ + 1/2 cx²) = 9/8 bei x = -3 (folgt aus 3)

Dieses Gleichungssystem aufgelöst ergibt die Parameter a und c. Man kann erkennen, dass die zweite Gleichung nur das Negative der ersten Gleichung ist, die beiden also nicht linear unabhängig sind, und darum eine der beiden weglassen. Es geht aber auch ohne diese Erkenntnis.

Comments

Hier ist es einfacher, weil d=0 (folgt aus "punktsymmetrisch zum Ursprung"). Es sind noch drei Unbekannte (a, b und c).

Aus der  Punktsymmetrie zum Ursprung folgt, dass x nur in ungerader Potenz vorkommt.

Man kann also von Beginn an f(x)=ax³+cx ansetzen.

Answer 2

f(x)= a x^3 + b x^2 + c x + d
1) Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
f(x)= a x^3 + c x + d
f ( 0 ) => d = 0
f ( x ) = a x^3 + c x

2) Graph schneidet die x-Achse im (-3;0)
f ( -3 ) = a * (-3)^3 + c *(-3) = 0
-27 * a + -3 * c = 0

3) Graph schließt mit der x-Achse im 2. Quadranten einen Flächeninhallt von 9/8 FE ein.
f ( x ) = a x^3 + c x
Nullstellen
a x^3 + c x  = 0
x * ( ax^2 + c ) = 0
x = 0
und
ax^2 + c = 0
ax^2 = -c
x^2 = -c/a
x = ±√ (-c/a)

Stammfunktion
S = a x^4/4 + c * x^2/2

[ S ] zwischen -√ (-c/a) und +√ (-c/a) = 9/8

--------------------------------------------------------

a * √ (-c/a))^4/4 + c * sqrt (-c/a))^2/2  minus
a *  (-√ (-c/a))^4/4 + c * (-√ (-c/a))^2/2  = 9/8
und
-27 * a + -3 * c = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Oje! Mit CAS gelöst
f ( x ) = -1/2 * x^3 + 1/8 * x

Stimmt noch nicht ganz,
Geht nachher weiter.
Nachtrag
Irgendwo muß im letzten Abschnitt noch ein
Fehler stecken, finde diesen momentan aber nicht.
Nachtrag
Es muß nicht heißen
[ S ] zwischen -√ (-c/a) und +√ (-c/a) = 9/8
sondern
[ S ] zwischen -√ (-c/a) und Null = 9/8

Comments

f(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d
1) Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung
f(x) = a x^{3} + c x + d
f ( 0 ) => d = 0
f ( x ) = a x^{3} + c x

Das ist unnötig kompliziert und die Bedingung f(0)=0 ist beispielsweise muss für nicht ganzrationale Funktionen auch gar nicht gelten, sodass diese Vorgehensweise auch nicht verallgemeinert werden kann. Wie wäre es denn so:

Der Graph von f ist symmetrisch zum Ursprung
=> -f(-x) = f(x) für alle x aus D(f) (*)
=> - ( a*(-x)^{3} + b*(-x)^{2} + c*(-x) + d ) = a*x^{3} + b*x^{2} + c*x + d
=> a*x^{3} - b*x^{2} + c*x - d = a*x^{3} + b*x^{2} + c*x + d
=> - b*x^{2} - d = b*x^{2} + d
=> 0 = 2*(b*x^{2} + d)
=> b = d = 0.

Das lässt sich auf beliebige ungerade Funktionen übertragen. Daher können wir bereits im Ansatz berücksichtigen, dass sämtliche Koeffizienten der geraden Potenzen in der Polynomdarstellung null sein müssen, hier kann es also sofort mit f(x) = a*x^{3} + c*x losgehen.

Auch bei nicht ganzrationalen Funktionen führt die Bedingung "-f(-x) = f(x)" noch weiter.

(*) PS: So hatte es der Frager ja auch gemacht!

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hier kann es also sofort mit f(x) = a*x³ + c*x losgehen.

... wie ich gestern schon schrieb...

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... wie ich gestern schon schrieb...

Ja, das hatte ich auch gelesen. Dennoch schien es mir eine nochmalige Erwähnung wert, denn der Frager hätte in Konsequenz und bei richtiger Durchführung seiner ersten Überlegung auch auf diesen Ansatz kommen können. Im Gegensatz dazu scheinen die beiden bisherigen Antworter interessanterweise unnötig komplizierte Ansätze zu bevorzugen, wodurch der Eindruck entsteht, der Frager hätte irgendwie unrecht...

Answer 3

1) Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung

2) Graph schneidet die x-Achse im Punkt \((-3|0)\)  und somit auch im Punkt \((3|0)\)

3) Graph schließt mit der x-Achse im 2. Quadranten einen Flächeninhalt \( \frac{9}{8} \) F.E. ein Gesucht wird die Funktion f(x)

Nullstellenform:

\(f(x)=ax(x+3)(x-3)=ax(x^2-9)=a(x^3-9x)\)

\( \frac{9}{8}=a\int\limits_{-3}^{0} (x^3-9x)dx=a\cdot [\frac{1}{4}x^4-\frac{9}{2}x^2]_{-3}^{0}=a\cdot[ \frac{81}{2} -\frac{81}{4}]=\frac{81a}{4}\)

\( a=\frac{1}{18}\)

\(f(x)= \frac{1}{18}(x^3-9x)\)

Comments

Hast du nicht vergessen, den Graphen irgendwie so zu verschieben, dass sich eine doppelte Nullstelle ergibt?