Funktion dritten Grades bestimmen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Question

                                                                                                                                                                                                                 Bei einseitig eingeklemmten Blattfedern ,

auf deren Ende eine Kraft wirkt , kann die Biegung durch eine ganzrationale Funkiton f vom Grad 3 beschrieben werden .

a) Bestimmen Sie für die angegebenen Abmessungen die Funktion f.

b)Wie groß ist die Auslenkung bei 7cm?

Comments

"auf deren Ende" - auf wessen Ende?

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auf deren Ende - so ist es geschriben

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Aber vorher steht, worauf sich "deren" bezieht. Worauf bezieht sich "deren"? Die Kraft, die Biegung, die Funktion, die Eisenstange?

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Mathematisch dürfte vorliegen

f ( 0 ) = 0
f ( 5 ) = 0.5
f ( 10 ) = 1.6

Dies wäre eine Aussage zu wenig.

Oder man reduziert auf

f ( x ) = a * x^3 + c * x + d
oder
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + d

Dies wären auch Funktionen 3.Grades.

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Ich denke ich habs. Die Steigung an der Stelle x = 0 dürfte
0 sein. Noch keine Biegung vorhanden.

f ( 0 ) = 0
f ( 5 ) = 0.5
f ( 10 ) = 1.6
f ´ ( 0 ) = 0

f(x) = -0,0008·x^3 + 0,024·x^2

Answer 1

Ah... ich habe gerade die "Blattfedern" entdeckt.

Du hast also für die Funktion y= ax³+bx²+cx+d die drei Lösungen
x=0, y=0
x=5, y=0,5
x=10, y=1,6
Damit kannst du die Parameter bestimmen (Aufgabe a) und wenn du dann x=7 einsetzt, auch Aufgabe b lösen.

Comments

Wo hast du im Text  " Blattfedern " entdeckt ?
Spielt aber auch keine Rolle.

Wie ist es dir möglich 4 Unbekannte mit 3 Gleichungen
zu bestimmen ?

mfg Georg

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Die Blattfedern stehen rechtsbündig. Wie man es macht, steht unter "Kommentare".

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Mit 3 Gleichungen mit 4 Variablen ? Wie ? Magie ?

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Wie man es macht, steht unter "Kommentare".

Answer 2

\(f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)  wegen doppelter Nullstelle bei \(x=0\)

A \((5|-0,5)\):

\(f(5)=a(125-25N)=  -0,5\)    \(a=-\frac{0,5}{125-25N}\):

\(f(x)=-\frac{0,5}{125-25N}(x^3-Nx^2)\)

B \((10|-1,6)\):

\(f(10)=-\frac{0,5}{125-25N}(1000-100N)=-\frac{8}{5}\)

\(N=30\)          \(a=\frac{1}{1250}\):

\(f(x)=\frac{1}{1250}(x^3-30x^2)\)

Answer 3

Aus \(f(-5)=0\), \(f'(-5)=0\), \(f(0)=0.5\) und \(f(5)=1.6\) folgt:

$$f(x)=−0.0008\cdot x^3+0.012\cdot x^2+0.18\cdot x+0.5$$

Comments

Ist dann aber falschrum. Im Vergleich zur Aufgabe.

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\(f'(-5)=0\)

Das macht keinen Sinn. Es gilt

Bei einseitig eingeklemmten Blattfedern, auf deren Ende eine Kraft wirkt

das Ende ist bei \(x=10\). Folglich gilt für die Biegelinie \(f''(10)=0\)

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@Unknown: Stimmt, ich wollte eigentlich \(f'(0)=-0.5\) und \(f(5)=-1.6\) ansetzen, habe dann aber die beiden vorzeichenlosen Daten aus der Abbildung übernommen.

@Werner: Das habe ich gar nicht berücksichtigt. Ich werde noch mal darüber nachdenken.

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Der Kommentar von Werner ist so aber auch nicht richtig, denn die Bedingungen hängen letztendlich von der Wahl des Koordinatensystems ab und offensichtlich hat az den Ursprung in die Mitte der Abbildung gelegt, so dass sich die Bedingungen \(f(-5)=0\) und \(f'(-5)=0\) ergeben anstelle von \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\). Dann nämlich ergibt es keinen Sinn, \(x=10\) zu betrachten, weil es dazu keine Information gibt. ;)

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Der Kommentar von Werner ist so aber auch nicht richtig, denn die Bedingungen hängen letztendlich von der Wahl des Koordinatensystems ab ..

Ja - das ist richtig. Zumindest aus rein mathematischer Sicht.

Das ist aber IMHO eine Mechanik-Aufgabe. Und es macht keinen Sinn, den Koordinatenursprung nicht auf ein Lager oder auf den Angriffspunkt einer Kraft zu legen.

Genauso gut hätte man den Koordinatenursprung auf eine Position \(\sqrt{2}\) rechts vom Einspannpunkt legen können.

Btw.: die Aufgabe ist überbestimmt. Für die Biegelinie muss sowohl \(f'(0)=0\) als auch \(f''(10)=0\) gelten (\(x=0\) soll jetzt der Einspannpunkt sein.) Zusammen mit \(f(0)=0\) und den beiden Punkten hat man eine Bedingung zu viel. Aber da die Punkte zum Rest passen, kann man eine Bedingung weg lassen und bekommt immer das gleiche Ergebnis.

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Das ist aber IMHO eine Mechanik-Aufgabe.

Ist es nicht. Das ist eine typische Steckbriefaufgabe, die in den üblichen Mathebüchern zu finden ist. Es wird also nicht erwartet, dass man die zusätzliche Bedingung \(f''(10)=0\) erkennt, die man daher aber auch weglassen kann aus den von dir genannten Gründen.

Und selbstverständlich sollte man das Koordinatensystem sinnvoll wählen, zumal sich die Rechnung dann ja häufig schon vereinfacht.

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auf deren Ende eine Kraft wirkt

sagt ja nichts über die Kraftrichtung aus, womit f"(10)=0 zunächst spekulativ ist.

Edit : meine Aussage ist falsch. Die Kraftrichtung bestimmt f'(10).

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Das ist aber IMHO eine Mechanik-Aufgabe.

Ist es nicht. Das ist eine typische Steckbriefaufgabe, die in den üblichen Mathebüchern zu finden ist.

Na ja! Da habe ich wohl zu sehr die Ingenieursbrille auf ;-)

Da sieht man mal wieder, was in den Mathebüchern so drin steht. Bei diesen 'Steckbriefaufgaben' wo Segelflugzeuge oder Straßen Polynomen folgen, dreht es mir eh' die Fußnägel nach oben.

Und woher soll eigentlich ein Schüler wissen, dass links die Steigung =0 ist? Kommt mir bitte nicht mit "das sieht man". (siehe auch Kommentar von Georg von 2016)

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Edit : meine Aussage ist falsch. Die Kraftrichtung bestimmt f'(10).

auch falsch! ;-)

Answer 4

a) Bestimmen Sie für die angegebenen Abmessungen die Funktion f.

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften
f(0) = 0
f'(0) = 0
f(5) = -0.5
f(10) = -1.6

Gleichungssystem
d = 0
c = 0
125·a + 25·b + 5·c + d = -1/2
1000·a + 100·b + 10·c + d = -8/5

Errechnete Funktion
f(x) = 0,0008·x^3 - 0,024·x^2 = 0.0008·x^2·(x - 30)

b) Wie groß ist die Auslenkung bei 7 cm?

f(7) = 0.0008·7^2·(7 - 30) = -0.9016

Bei 7 cm beträgt die Auslenkung etwa 0.9016 cm

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Hier noch eine Skizze:

~plot~ 0.0008·x^2·(x-30)·(x>0)·(x<10);[[0|10|-5|1]] ~plot~