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Folgendes: Ich habe die Funktionsschar fa(x)=x3-3a2x+2a3

Ich soll nun zeigen, dass alle Graphen der Schar die x-Achse berühren und dass fa symmetrisch zu f-a ist. 

Wie stelle ich so etwas an?
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Hast du richtig abgeschrieben? f-a geht aus fa durch eine Parallelverschiebung um -4a^3 hervor. (Nicht Symmetrie)

fa(x)=x3-3a2x+2a3

f-a(x)=x3-3(-a)2x+2(-a)^3 = x^3 -3a^2 x - 2a^3 

Ja du hast Recht. ich denke die Aufgabe ist einfach nur falsch formuliert.

(Nicht Symmetrie)

Selbstverständlich liegt Symmetrie vor !

hj219: Zwischen fa und f-a. Wie denn genau?

der Graph von f-a ist offensichtlich Nullpunkt-symmetrisch zum Graphen von fa

Ok. Danke. Habe das unten ergänzt.

2 Antworten

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Beste Antwort

fa(x)=x3-3a2x+2a3

Das entscheidende Wort in der Aufgabenstellung ist " berühren ".
Es soll nicht ein " Schnittpunkt " sondern ein " Berührungpunkt "
ermittelt werden.

f ´( x ) = 3*x^2 - 3*a^2
3*x^2 - 3*a^2 = 0
x^2 - a^2 = 0
x^2 = a^2
x = a
x = -a

f ( a ) = a^3 - 3*a^2*a + 2*a^3
f ( a ) = a^3 - 3*a^3 + 2*a^3 = 0
( a  | 0 )
Bei a = 0 ist die Steigung 0 und der Punkt
liegt auf der x-Achse. Berührpunkt.

f ( -a ) = (-a)^3 - 3*(-a)^2*a + 2*a^3
f ( a ) = -a^3 - 3*a^3 + 2*a^3 = - 2*a^3
( a  | -2*a^3 )
Dieser Punkt liegt nicht auf der x-Achse.

Symmetrie kommt vielleicht später.

mfg Georg

Avatar von 123 k 🚀

Meine Gedanken zu Symmetrie : siehe meinen Kommentar bei Lu

Die Frage zur Symmetrie ist die bisher tückischste die ich
kenne. Üblicherweise wird für 1 Funktion nach Symmetrie
gefragt. Meist Achsensymmetrisch zur y-Achse bzw.
Punktsymmetrisch zum Ursprung ( 0 | 0 ).
Das nach Symmetrie bezüglich 2 Funktionen kommt selten
vor.
f-a ist aus Parallelverschiebung von fa in Richtung y-Achse
entstanden. Ich habe mir beide Funktionen einmal zeichnen
lassen und konnte keine Symmetrie erkennen.
Diese ist aber doch vorhanden. Einen Beifall für Gast hj219.

Es bliebe nur noch die Frage wie kann ich eine eventuell
vorhandene Symmetrie ( alle möglichen Symmetrien sind
ja denkbar ) mathematisch ermitteln ?

Ich versuche einmal

Achsensymmetrie
fa ( - x ) = f-a ( x )
(-x)3 - 3 * a2 *(- x) + 2 * a3  =  x3 - 3 * a2 * x - 2 * a3
stimmt nicht

Punktsymmetrie zu ( 0 | 0 )
- fa ( - x) =  f-a ( x )
- [ (-x)3 - 3 * a2 *(- x) + 2 * a3  ] =  x3 - 3 * a2 * x - 2 * a3
x3 - 3 * a2 *x - 2 * a3  =  x3 - 3 * a2 * x - 2 * a3
stimmt

Im Nachhinein war die Frage nach doch etwas einfacher
als gedacht.

Vielen Dank georgborn, Lu und hj 219 für eure schnelle Hilfe!

Dank euch hab ich das Ganze jetzt verstanden  :)

Das ist echt das beste Matheforum, dass ich kenne!

Besten Dank!

Gern geschehen. Die Frage war auch für mich lehrreich.

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 fa(x)=x3-3a2x+2a3

fa'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x^2 -a^2) = 3(x-a)(x+a)

Extremalstellen x1= a und x2=-a unter der Annahme a≠0. Fall a=0 müsstest du noch separat untersuchen.

Nun kontrollieren, ob dort gerade eine Nullstelle liegt.

fa(a) = a^3 - 3a^3 + 2a^3 = 0

Also fa(x) berührt die x-Achse im Punkt A(a,0) für alle a ≠0.

fa(-a) = -a^3 + 3a^3 + 2a^3 = 4a^3. Keine Berührung in der 2. Extremalstelle.

fa(x) selbst ist symmetrisch zum Punkt P(0,2a^3)

Das ist der Wendepunkt der Parabel 3. Grades. Allerdings ist das selten gefragt.

Avatar von 162 k 🚀

fa symmetrisch zu f-a ist. 
fa ( x ) = x3 - 3 * a2 * x + 2 * a3
heißt doch
f-a ( x ) = x3 - 3 * (-a)2 * x + 2 * (-a)3
f-a ( x ) = x3 - 3 * a2 * x - 2 * a3

Mit symmetrisch ist meist die Symmetrie zur y-Achse gemeint.
Dürfte also nicht symmetrisch sein.

georgborn: Habe ich oben im Kommentar schon kritisiert.

hj219 sieht das anders.

fa(x)=x3-3a2x+2a3                          |Spiegelung an x-Achse

-fa(x) =-(x^3 - 3a^2 x + 2a^3) = -x^3 + 3a^2 x - 2a^3 

f-a(x)=x3-3(-a)2x+2(-a)3 = x3 -3a2 x - 2a3             |Spiegelung an y-Achse

f-a(-x) = -x^3 + 3a^2 x - 2a^3

Beide Spiegelungen zusammen: Spiegelung an P(0,0)

Nur: Warum habe ich dann gleichzeitig eine Parallelverschiebung um -4a^3 ?

Ok. Das geht, da der Wendepunkt ja auf der y-Achse liegt, bei + resp. - 2a^3

Hier noch ein Graph für a=1.

Man sieht, dass bei allen Geraden durch 0(0,0)  eine Spiegelung möglich ist.

Bild Mathematik

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