Gruppentheorie weiterer Satz: Es existiert genau ein x ∈ G mit a◦x = b. und

Question

Und wieder Gruppentheorie 8-)

Satz (Lösbarkeit von Gleichungen“):

Es sei (G,◦) eine Gruppe und es seien a, b beliebige Elemente von G. Dann gilt:

• Es existiert genau ein x ∈ G mit a◦x = b.

• Es existiert genau ein y ∈ G mit y◦a = b.

Ideen zum ersten:

Sei e das neutrale Element, dann ist: b*e = b. D.h.: e*b = b. Sprich es gibt zu e ein b, mit e*b= b.

Weiter: e*b*x*x^-1 = b Also: x*b*x^-1 = b. Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass b*x^-1 in G enthalten ist, dann würde ich a:= b*x^-1 setzen und fertig... Aber ich weiss nicht wie, Tipps!

Danke

Gruss

Comments

Ich halte meine Idee für falsch^^ Das setzt ja quasi den Satz Voraus.

Edit: Nicht Voraussetzt sondern wieder auf ihn zurückleiten...

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Ich weiss leider nicht was an diesem Beweis falsch ist:

Annahme: Es gibt kein solches x.

Widerspruch, denn dann gäbe es kein inverses Element! Es sei denn a=b=e...

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Hm, das wäre ja zu leicht, weiss jemand was daran falsch ist?

Answer 1

Seien  a,b ∈ G  und  e  das neutrale Element von  G.
1. Existenz: Es existiert ein  z ∈ G  mit  a•z = z•a = e.
Definiere  x,y ∈ G  durch  x := z•b  sowie  y := b•z.
Dann ist  a•x = a•z•b = e•b = b  sowie  y•a = b•z•a = b•e = b.
2. Eindeutigkeit: Seien  u,v ∈ G  mit  a•u = b  sowie  v•a = b.
Dann ist  u = e•u = z•a•u = z•b = x  sowie  v = v•e = v•a•z = b•z = y.

Comments

Ich verstehe nicht was b mit der Sache zu tun hat... Was für eine Rolle spielt z bei x := z•b sowie y := b•z. Und welche b? Soll b ∈ G und z das Inverse von b sein? 

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Ich verstehe nicht was b mit der Sache zu tun hat...  Das ist Bestandteil deiner eigenen Voraussetzungen: Es sei (G,◦) eine Gruppe und es seien a, b beliebige Elemente von G...
Was für eine Rolle spielt z...  Steht in Zeile 2.

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Ok, aber wieso denn genau(!) eins? Wann haben wir gezeigt, dass die einzige Möglichkeit ist?

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2. Eindeutigkeit: Haben  u  und  v  die besagten Eigenschaften von  x  bzw. y,
dann ist  u = x  und  v = y.

Answer 2

Beispiel :  0 +a = a + 0 = a    , wobei 0 das neutrale Element ist .
Bei dir gilt -----> b *e = b , also müsste e =0 sein?

Comments

Nein, b ist das neutrale Element über *. Das muss nicht 0 sein.