Anzahl der Jordan-Normalformen mittels charakteristischem- und Minimalpolynom bestimmen

Question

Von einer Matrix kennt man nur das charakteristische Polynom
p(t) = (t -2)³ (t-4)⁶ und das Minimalpolynom m(t) = (t-2)² (t-4)³. Wie viele JORDAN-Normalformen
kommen für diese Matrix bis auf Reihenfolge der Blöcke in Frage?

Zu diesem speziellen Aufgabentypen konnte ich nicht wirklich was finden. Hat das was mit den geometrischen und algebraischen Vielfachheiten zu tun?

Danke.

Answer 1

Das charakteristische Polynom hat den Grad 9. Folglich können nur 9x9-Matrizen jenes charakteristische Polynom haben. Die Vielfachheit der Eigenwerte im Minimalpolynom entspricht der Größe des größten Jordan-Blocks zum entsprechenden Eigenwert (mach dir klar warum).

D.h. wir wissen, dass es mindestens einen 2x2-Block zum Eigenwert 2 gibt und mindestens einen 3x3-Block zum Eigenwert 4. Da wir eine 9x9-Matrix haben haben wir also noch einen 4x4-Block "übrig".

Da die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 genau 3 ist, kommt dieser Eigenwert in jeder JNF 3 mal vor. Da wir mindestens einen 2x2-Block haben muss der letzte Block also ein 1x1-Block sein.

Jetzt haben wir noch einen 3x3-Block "übrig" und dieser muss mit Jordan-Blöcken zum Eigenwert 4 aufgefüllt werden, da die algebraische Vielfachheit 6 beträgt und wir schon einen 3x3-Block haben (also kommt der EW 4 bis jetzt 3x in der JNF vor).

Hier gibt es jetzt erstmals mehrere Möglichkeiten: Entweder haben wir einen 3x3 Block, einen 2x2- und einen 1x1-Block oder 3 1x1-Blöcke. Also gibt es insgesamt bis auf Reihenfolge 3 mögliche JNF.