Suche die Formel für die Fläche eines Dreiecks um 10 Kreise mit Radius r gemäss Skizze.

Question

In der unten stehenden Skizze seht ihr ein gleichseitiges Dreieck welches um diese 10 Kreise anliegend herum geht. Der Radius einer Kugel ist nicht bekannt (r). Wie berechne ich jetzt die Fläche des Dreiecks?

 

Answer 1

Es ist nach Pythagoras
(h + x)² = s² + r²
x² = r² - (s/2)²
h² = s² - (s/2)²
Setzt man  die Werte für  h  und  x  oben ein und löst nach  s  auf, erhält man
s = √3·r.
Für die Grundseite  a  des großen Dreiecks gilt
a = 2·s +6·r = 2·(3 + √3)·r.
Daraus kann man die Fläche ermitteln.
 

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danke vielmals für die Antwort ;)

Doch irgendwie gelingt es mir nicht die Gleichung aufzulösen...

Könnte jemand den Lösungsweg der Gleichung hochladen ?

Ich wäre wirklich sehr dankbar :)

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s² + r² = (h + x)²
             = (1/2·√3·s + √(r² -1/4·s²))²  |  binom Formel
             = 3/4·s² + r² -1/4·s² + √3·s·√(r² - 1/4·s²)  |  zusammenfassen
   1/2·s = √3·√(r² - 1/4·s²)  |  quadrieren
 1/4·s² = 3r² - 3/4·s²
        s² = 3r²
 

Answer 2

in einem gleichseitigen dreieck sind alle Winkel 60° und nun geht es darum die Grundseite a zu bestimmen,

a = 4*(2*r) +2x

um x zu bestimmen muss man mit sin und tan arbeiten

einmal  x=( r/sin 60°) +tan 60° *r

also ist dann

a=4*(2r)+2*(r/sin0°)+tan 60° *r

   =r*(8+2/sin°+2*tan60°) =2r(4+ 1/sin 60° +tan 60°)

die Fläche des Dreieckes ist

A=(a²*√3)/4  nun a einsetzen

A=((2r*(4+1/sin 60°+tan 60°))² *√3)/4

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danke zuerst einmal für die schnelle Hilfe aber irgendwie finde ich die Lösung etwas komisch da wir das mit Tangens etc. noch gar nicht hatten in der Schule.

Also die Original Aufgabe wäre eigentlich das es Kugeln sind (mit Radius r) und man nun eine dreieckige Verpackung um die 10 Kugeln herum machen sollte (ungefähr wie diese Schokoladenverpackung unten) und diese dann zu berechnen. 
Gibt es so eine einfachere Lösung ?

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Gibt es denn wirklich keine andere Lösung ...?

Answer 3

Wie willst du die Fläche berechnen, wenn nur die Anzahl der Kreise kennst und nicht deren Radius? Du könntest höchsten die Fläche des Dreiecks in Relation zu einem bestimmten Radius der Kreise berechnen, aber so, mit der einzigen Information "10 Kreise mit unbekanntem Radius, gleichseitiges Dreieck" könnte es jedes Dreieck der nachfolgenden Skizze sein:

 

Die erfüllen alle deine Bedingungen. Sie sind alle gleichseitig und mit 10 Kreisen gefüllt, haben aber unterschiedliche Flächen.

Comments

sorry ich meinte eine allgemeine Formel mit radius r....

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Mhm also der Radius ist bekannt? Du willst die Fläche in Abhängigkeit von einem gewissen Radius, den du selber wählen möchtest, berechnen?

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genau das will ich ;)

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Sollte klappen.