Zentriwinkel Alpha des Kreissektors bestimmen damit die Flächen gleich groß sind.

Question

Wie groß muss der Zentriwinkel Alpha des Kreissektors sein, damit die Flächeninhalte der beiden Figuren gleich groß sind?

a) Halbkreis mit Radius r, Sektor mit Radius 2r

b) Kreis mit Radius r, Sektor mit Radius 3r

Ich habe mir die Formeln zusammengesucht, aber komme irgendwie auf keine Lösung. Bitte um Hilfe und Erklärung!

Danke, lg

Comments

Welche Figuren ?

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Zeichne ein rechtwink. Dreieck in den Kreis , die Hypotenuse  c ist r des Kreises und  dessen Gegenkathete a die halbe Sehne , dann ist α der halbe Zentriwinkel und es gilt : a = c * sin α !
Falsch gedacht , es geht ja um die Fläche . Entschuldigung .

Answer 1

Halbkreis mit Radius r -- Sektor mit Radius 2r

1/2·pi·r^2 = a/360·pi·(2·r)^2
a = 45°

Kreis mit Radius r -- Sektor mit Radius 3r

pi·r^2 = a/360·pi·(3·r)^2
a = 40°

Comments

Wie kommst du auf 45 bzw. 40? Bitte erkläre mir einen Gedankengang

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Schau mal, es ist so:

Bei a) soll der Radius verzweifacht werden. Dadurch wird der Inhalt vervierfacht. Um das auszugleichen, muss der Zentriwinkel geviertelt werden. (180° : 4 = 45°)

Bei b) soll der Radius verdreifacht werden. Dadurch wird Inhalt verneunfacht. Um das auszugleichen, muss der Zentriwinkel geneuntelt werden. (360° : 9 = 40°)

Diesen einfachen Sachverhalt kann man natürlich auch irgendwie komplizierter berechnen...

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1/2·pi·r² = a/360·pi·(2·r)² 

1/2·pi·r² = a/360·pi·4·r² 

Beide Seiten durch pi und r^2 teilen

1/2 = a/360·4

1/2·360/4 = a

a = 360/8 = 45

Das solltest du aber auch eigentlich selber auflösen können oder nicht ?

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Ein großes Dankeschön :D Ich habe es verstanden

Answer 2

zu a) Der Sektorinhalt ist proportional zum Zentriwinkel und "quadratisch proportional" zum Radius. Nun wird der Radius verdoppelt, damit also der Inhalt vervierfacht. Daher muss der Zentriwinkel geviertelt werden.