\( f(x)=(x-3)^{2} \cdot(x+2) \)
a) Bestimmen Sie alle relativen Extremwerte über \( \mathbb{R} \) von \( f \).
b) Schränken Sie die Betrachtung auf \( I=[-2,4] \) ein. Welche relativen und absoluten Extremwerte hat die Funktion \( f \) eingeschränkt auf \( I \) ?
c) Geben Sie die Fläche an, die zwischen der Funktion, der \( x \)-Achse und den beiden Geraden \( y=-2 \) und \( y=5 \) eingeschlossen wird.
Meine Lösungen:
a) f´(x) = 3x^2 -8x - 30
lokale Extreme -> f´(x) = 0
3x^2 -8x - 3 = 0
Pq Formel - > x1= 3 , x2= -1/3
wobei x1 und x2 die möglichen Extremstellen sind.
mit der zweiten Ableitung überprüfe ich jetzt diese.
f´´(x) = 6x-8 --- > f´´(3) = 10
10>0 => d.h es existiert ein lokales Minimum bei x= 3
f´´(-1/3 ) = -10
-10>0 => d.h es existiert ein lokales Maximum bei x= -1/3
Durch das einsetzen der X werte in f(x) bekommt man die dazu gehörigen Y werte.
f(3) = 0
f(-1/3) = 500/27
Damit hat man die beiden Punkte bestimmt.
p1(3,0) relatives Minimum . p2(-1/3 , 500/27 ) relatives Maximum
Ist bisher das vorgehen korrekt? Gibt es noch Ergänzungen?
b) wenn man die Grenzwert einsetzt
f(-2) = 0
f(4) = 3
jetzt ist die Frage welcher Punkt nun das Lokale Minimum und das Absolute Minimum ist?
Da jetzt bei beiden fällen y = 0 ist
c) hier hab ich leider keinen Ansatz
