Quadratische Ergänzung (Komplexe Gleichung): z^2 + (4 - 2i)z + 3 = 0

Question

ich habe die Aufgabe z² + (4 - 2i)z + 3 = 0 durch Quadratische Ergänzung zu lösen.

Mein Vorgehen: p = (4 - 2i) daraus folgt: (4 - 2i)² / (2) und somit (5 - 4i).

Jetzt muss man die quadratische Ergänzung in die Gleichung einsetzten, dann folgt:
z² + (4 - 2i)z + (5 - 4i) = -3 + (5 - 4i)
und somit: z² + (4 - 2i)z + 3 = 0

Jetzt bin ich wieder da, wo ich am Anfang war. Wie muss ich hier vorgehen?

, Florean.

Comments

p² muss 10 - 8i lauten, habe mich hier verrechnet.

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Edit: 3 - 4i...

Answer 1

z² + (4 - 2i)z + 3 = 0           

(4-2i)/2 = 2-i

(2-i)^2 = 4 - 4i -1 = 3-4i

z² + (4 - 2i)z + (2-i)^2 - (2-i)^2+ 3 = 0 

(z + (2-i))^2 - (2-i)^2 + 3=0

(z-(i-2))^2 = (2-i)^2 - 3 = 3 - 4i- 3 = - 4i

z - (i-2) =  "√( - 4i)"

z_1,2 = i-2 + " √(-4i)"

Jetzt ist mal das z isoliert aber du musst halt noch die 'Wurzeln' aus -4i berechnen.

Bitte erst mal bis hierhin nachrechnen und allenfalls korrigieren.

z_1,2 = i-2 ± √(-4i)

z_1,2 = i-2 + 2"√(-i)"  

z₁ = i-2 + 2*1/√2 (1-i) = √2 - 2 + (1 -√2)i

z₂ = i -2 + 2*1/√2 (-1+i) = -2 - √2 + (1+√2)i

Comments

Mhmmm ich verstehe nicht den Schritt: (z + (2-i))² - (2-i)² + 3=0 wo zusammengefasst wurde.

Kannst du mir bitte erläutern wie du zusammengefasst hast?

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z₁ = -2 + i + i*√(i)
z₂ = -2 + i - i*√(i)

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(z + (2-i))²  | Binomische Formel

=z^2 + 2(2-i)z + (2-i)^2 

Rückwärts ist das Ziel einer quadratischen Ergänzung.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2+%2B+%284+-+2i%29z+%2B+3+%3D+0+

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Mhmm ich verstehs gerade nicht, werde wohl noch ein paar Minuten mit der Aufgabe verbringen müssen.

Danke dir Lu!

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Habe doch noch eine Frage Lu,

wie multipliziert man (z + (2-i))² aus? Stehe gerade total auf dem Schlauch...

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Nein! Man hat jetzt die Unbekannte nur noch einmal in der Gleichung. Nun schält man sie einfach raus.

Quadratische Ergänzung in IR ist hier erklärt, wo die Scheitelpunktform erstellt wird: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

x^2 + 6x = 4

x^2 + 6x + 9 - 9 = 4

(x+3)^2 - 9 = 4

(x+3)^2 = 13

x+3 = ±√13

x_1,2 = -3 ±√13

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Danke dir Lu! Habs verstanden :-) Da haben die Basics gefehlt! :-)

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Hauptsache die Basics sind jetzt da. 

Bitte. Gern geschehen!

Answer 2

Schreibe in die Form:

(x+2px+p²)+Rest =0

und damit ergibt sich:

(x+p)²+Rest =0.

(genauso eigentlich wie man es in der Schule hoffentlich gelernt hat)

Dein p ist richtig, dein p² ist es nicht.

Answer 3

z² + (4 - 2i)*z + 3 = 0

z² + 2*(2 - i)*z + 3 = 0

z² + 2*(2 - i)*z + (2 - i)² - (2 - i)² + 3 = 0

(z + 2 - i)² + 4i = 0

(z + 2 - i)² - (sqrt(-4i))² = 0

(z + 2 - i)² - (sqrt(2)*(1-i))² = 0

(z + 2 - i - sqrt(2)*(1-i)) * (z + 2 - i + sqrt(2)*(1-i)) = 0

(z + 2 - sqrt(2) + (-1 + sqrt(2))*i) * (z + 2 + sqrt(2) + (-1 - sqrt(2))*i) = 0

z = -2+sqrt(2) + (1-sqrt(2))*i   oder   z =  -2-sqrt(2) + (1+sqrt(2))*i.