Quadratische Ergänzung/Gleichung

Question

Aufgabe:

Nr. 1 und 3

Problem/Ansatz:

Könnt Ihr mir mit den Aufgaben eins und drei  behilflich sein?

Aufgabe 1 (Quadratische Ergänzung)

Seien \(a,\, b,\, c,\, d\) reelle Zahlen. Zeigen Sie: Für \(d=\frac a2\) und \(c= \frac{a^2}4-b\) gilt$$(x+d)^2-c=x^2+ax+b$$

Aufgabe 3 (pq-Formel)

Leiten Sie aus Aufgabe 1 die folgende Formel her: Für \(p,q \in \mathbb{R}\) sind alle Lösungen der Gleichung$$x^2+px+q=0$$gegeben durch die Formel$$x=-\frac p2 \pm \sqrt{\frac {p^2}4-q}$$In welchem Fall existieren zwei verschiedene Lösungen von \(x^2+px+q=0\)? Wann existiert eine, wann keine Lösung? Formulieren Sie eine Bedingung dafür, dass mindestens eine Lösung existiert.

Comments

Super danke. Zu Aufgabe 3 irgendwelche Ideen?

Answer 1

Setze für d und c die gegebenen Terme ein und erhalte:

(x+a/2)²-(a²/4-b)=x²+ax+a²/4-a²/4+b=x²+ax+b.      

Answer 2

3.)
x^2 + px + q = 0  | quadratische Ergänzung
x^2 + px + ( p/2  ) ^2 = (p/2)^2 - q
( x + p/2 )^2 = (p/2)^2  -q | Wurzel
x + p/2 = ± √ [  ( p/2)^2 - q ]
x = ± √ [  ( p/2)^2 - q ] + p/2
pq-Formel

Comments

Du darfst bzw. solltest Aufgabe 1 benutzen.

Prüfe weiterhin einmal deine pq-Formel auf Richtigkeit.

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Danke für den Fehlerhinweis
Nicht
x = ± √ [  ( p/2)^2 - q ] + p/2
sondern
x = ± √ [  ( p/2)^2 - q ] minus p/2

Answer 3

Bei Aufgabe 3 darfst du ja die Formel von Aufgabe 1 benutzen.

x^2 + ax + b = (x + d)^2 - c = (x + a/2)^2 - (a^2/4 - b)

x^2 + px + q = 0
(x + p/2)^2 - (p^2/4 - q) = 0
(x + p/2)^2 = (p^2/4 - q)
x + p/2 = ± √(p^2/4 - q)
x = - p/2 ± √(p^2/4 - q)

Die Anzahl der Lösungen bestimmt der Wert der Diskriminante.

Keine Lösung für p^2/4 - q < 0

Genau eine Lösung für p^2/4 - q = 0

Zwei Lösungen für p^2/4 - q > 0

Mind. eine Lösung für p^2/4 - q ≥ 0