Extrema, Wendepunkte von fa(x)=x^3-3a^2 und zeigen, dass x=-2a eine Nullstelle von fa ist.

Question

gegeben ist die Funktionenschar fa(x)= x³ - 3a²x + 2a³ 

a) Untersuchen Sie f_a auf Extrema und Wendepunkte.

1. Ableiten

2. Extrema berechnen: 

-Notwendige Bedingung: f'_a(x)= 0; → x=a v x=-a

-Hinreichende Bedingung: f'_a(x) = 0 ∧ f''_a(x) ≠ 0;

Meine Frage bzw. mein Problem ist, dass für a nicht angegeben würde, ob es größer oder kleiner 0 ist und ich somit ja dann bei der hinreichenden Bedingung gar nicht sagen kann, ob es ungleich null ist, oder?

Kann mir das mal jemand erklären, wie ich da jetzt die Extrema und Wendepunkte bestimmen bzw. untersuchen soll, wenn ich so gar nichts über a weiß?

und ich habe noch eine Frage:

b) Zeigen Sie, dass x=-2a eine Nullstelle von f_a ist:

Ich muss doch dann hier einfach x in der Funktion durch -2a ersetzen oder? Und dann?

Ist ein bisschen lang geworden, meine Frage.. Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann und es möglichst anschaulich erklärt, weil ich (wie man ja merkt) kein großes Mathe-Ass bin :-(

:-)

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3

f'(x) = 3·x^2 - 3·a^2

f''(x) = 6·x

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 - 3·a^2 = 0

x = -a ∨ x = a

f(a) = 0 für a > 0 TP

f(-a) = 4·a^3 für a > 0 HP

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x = 0

x = 0

f(0) = 2·a^3 --> Wendepunkt für a = 0 Sattelpunkt

b)

f(-2·a) = 0

Comments

:-)

Nur eins noch: Woher weiß man, dass das ein Sattelpunkt ist? Was sind nochmal die Kriterien dafür? Sonst habe ich alles verstanden..