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Komplexe Aufgaben brauche Hilfe bitte- Die Aufgabe 21 a) bis e)  mit Rechenweg bitte .. ich wär Ihnen sehr dankbar ehrlich 

 

21. Gegeben ist die Funktionenschar fa(x) = (x + a)*e-x, a>0

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

b) Zeichnen Sie den Graphen von f2 für -2 ≤ x ≤ 3.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von f2 für x → -∞ und x → ∞-

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extrema der Schar fa.

e) Bestimmen Sie die Stammfunktion von fa.

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a ist eine Konstante. 

a) Nullstellen

(x+a) * e^{-x} hat eine Nullstelle, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist. Der zweite Faktor ist immer größer als 0, also muss x+a = 0 gelten, und das ist offensichtlich gegeben für x = -a.

Für die Bestimmung der Extrema und Wendepunkte brauchen wir die Ableitungen. 

Produktregel: (u*v)' = u' * v + u * v'

u = x + a

u' = 1

v = e^{-x}

v' = -e^{-x}

Also ist f'(x) = 1 * e^{-x} + (x+a) * (-e^{-x}) = (1 - x - a) * e^{-x}

f'(x) = 0 für 1-x-a = 0, also für x = 1-a

 

f''(x)

u = 1-x-a

u' = -1

v = e^{-x}

v' = -e^{-x}

f''(x) = -1 * e^{-x} + (1-x-a) * (-(e^{-x}) = (-2+x+a) * e^{-x}

Setzen wir jetzt das x = 1-a aus der vorigen Rechnung ein, so erhalten wir: 

f''(1-a) = (-2 +1-a +a) * e^{-1+a} <0, da der erste Faktor = -1 und der zweite Faktor >0 ist. Also liegt an der Stelle

1-a ein Maximum vor!

(1-a müsste jetzt noch in die Ursprungsfunktion fa(x) eingesetzt werden, um den y-Wert zu bestimmen.)

 

Weil es so spät ist, nur noch Teil 

c)

Verhalten von 

f2(x) = (x+2) * e^{-x}

für x gegen -∞ und x gegen ∞

e^{-x} = 1/e^x

Setzt man jetzt ein sehr großes x ein (x gegen ∞), so nähert sich der Faktor 1/e^x schneller der 0 an, als sich (x+2) dem ∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen ∞ gegen 0.

Der Taschenrechner errechnet für z.B. x = 9 folgenden y-Wert: 0,0013575078 

Setzt man ein sehr kleines x ein (x gegen -∞), so nähert sich 1/e^x schneller dem ∞ an, als sich (x+2) dem -∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen -∞ auch gegen -∞.

TR: x = -9, y = -56721,587...

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Oha vielen Danke ersteinmal ...  Könnten Sie mir vielleicht auch die Lösungen von d) und e) schreiben ?? Vielen dank
e)

Ich habe noch kein rechtes Schema gefunden, wie man die Stammfunktion einer Funktion erhält, in der die e-Funktion vorkommt.

Deshalb habe ich die schon berechneten Ableitungen und die Ursprungsfunktion fa(x) untereinander

geschrieben, um eine Regelhaftigkeit festzustellen:
fa''(x) = (-2+x+a) * e^{-x}

fa'(x) = (1-x-a) * e^{-x}

fa(x) = (x+a) * e^{-x}

Deshalb vermutete ich, dass gilt:
Fa(x) = (-1-x-a) * e^{-x}

Und so ist es :-)

Bitte einmal selbst ableiten, um die Richtigkeit zu überprüfen: Fa'(x) = fa(x)


d)

Gleichung der Ortskurve der Extrema der Schar fa:

Das Maximum von f1(x) liegt bei x = 1-1 = 0, f1(0) = 1, also bei (0|1),

das Maximum von f2(x) bei x = 1-2 = -1, f2(-1) = e, also bei (-1|e)

das Maximum von f3(x) bei x = 1-3 = -2, f3(-2) = e^2, also bei (-2|e^2) etc.

Also lautet die Ortskurve
O = e^{-x}

(Ich bezweifle, dass diese Schreibweise formal korrekt ist, die Lösung als solche stimmt aber -
bitte einmal in einen Funktionsplotter
(x+1) * e^{-x}

(x+2) * e^{-x}

(x+3) * e^{-x}

und

e^{-x}

eingeben!)

Besten Gruß :-)

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