a ist eine Konstante.
a) Nullstellen
(x+a) * e^{-x} hat eine Nullstelle, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist. Der zweite Faktor ist immer größer als 0, also muss x+a = 0 gelten, und das ist offensichtlich gegeben für x = -a.
Für die Bestimmung der Extrema und Wendepunkte brauchen wir die Ableitungen.
Produktregel: (u*v)' = u' * v + u * v'
u = x + a
u' = 1
v = e^{-x}
v' = -e^{-x}
Also ist f'(x) = 1 * e^{-x} + (x+a) * (-e^{-x}) = (1 - x - a) * e^{-x}
f'(x) = 0 für 1-x-a = 0, also für x = 1-a
f''(x)
u = 1-x-a
u' = -1
v = e^{-x}
v' = -e^{-x}
f''(x) = -1 * e^{-x} + (1-x-a) * (-(e^{-x}) = (-2+x+a) * e^{-x}
Setzen wir jetzt das x = 1-a aus der vorigen Rechnung ein, so erhalten wir:
f''(1-a) = (-2 +1-a +a) * e^{-1+a} <0, da der erste Faktor = -1 und der zweite Faktor >0 ist. Also liegt an der Stelle
1-a ein Maximum vor!
(1-a müsste jetzt noch in die Ursprungsfunktion fa(x) eingesetzt werden, um den y-Wert zu bestimmen.)
Weil es so spät ist, nur noch Teil
c)
Verhalten von
f2(x) = (x+2) * e^{-x}
für x gegen -∞ und x gegen ∞
e^{-x} = 1/e^x
Setzt man jetzt ein sehr großes x ein (x gegen ∞), so nähert sich der Faktor 1/e^x schneller der 0 an, als sich (x+2) dem ∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen ∞ gegen 0.
Der Taschenrechner errechnet für z.B. x = 9 folgenden y-Wert: 0,0013575078
Setzt man ein sehr kleines x ein (x gegen -∞), so nähert sich 1/e^x schneller dem ∞ an, als sich (x+2) dem -∞ annähert, deshalb strebt die Funktion für x gegen -∞ auch gegen -∞.
TR: x = -9, y = -56721,587...